Aufgabe vom Abitur 2005 / Hausaufgabe zur e-Funktion

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datura Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe vom Abitur 2005 / Hausaufgabe zur e-Funktion
Hey,

bis vor kurzem ging's mir noch blendend in Mathe, aber dann kam die Analysis wieder und - am schlimmsten - die e-Funktion, an der ich immer wieder scheitere.

Daher habe ich einige Fragen zu meiner Aufgabe. Ich wäre euch sehr dankbar für jede Hilfe. Freude


Also, Aufgabe:
Durch einen im dritten Quadranten liegenden Punkt R des Graphen G von verlaufe eine Parallele zur y-Achse. Ihr Schnittpunkt mit der x-Achse sei P, der Koordinatenursprung sei O.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes R so, dass das Dreieck OPR einen maximalen Flächeninhalt annimmt.

Meine ersten Überlegungen...
Hab mir erstmal überlegt, wie die Punkte lauten müssen:
O ( 0 | 0 )
P ( 0 | y ) (Gilt hierbei dann g(x) = y, wenn die Gerade parallel zur y-Achse sein soll?)
R völlig ratlos...

Müsste R nicht einfach der Tiefpunkt sein?


Zwei weitere Aufgaben habe ich auch noch, aber erstmal bin ich glücklich, wenn die geschafft ist. traurig


Anmerkung: Der Exponent von e ist 1+x, sieht komisch aus in der Formel.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe vom Abitur 2005 / Hausaufgabe zur e-Funktion
Hallo.

Du musst die Einträge des Exponenten in geschweifte Klammern setzen. Ich werde das gleich mal ändern.

Klar ist, dass O(0,0) ist. Der Punkt R soll auf dem Graphen der Funktion f liegen. Das heißt seine Koordinaten kannst du explizit angeben.

Jede Parallele zur y-Achse hat die Gestalt für . Für ist es die y-Achse.

Wenn wir also sagen, dass ist, wie muss dann lauten???
 
 
datura Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz so schnell bin ich nicht. unglücklich

R müsste ja denselben y-Wert wie P aufweisen, also 0, oder?
Und x würde ich dann mittels f(x) ausdrücken... Denke ich.

Stimmt das so weit?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Der Schnittpunkt der Parallelen mit der x-Achse ist doch P. Also kann dort doch nur der y-Wert Null sein. Damit sind die Koordinaten von P begründet.

R hat nicht den gleichen y-Wert wie P, sondern den gleichen x-Wert (liegen auf einer Geraden).
datura Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also O(0,0), P(a,0) und R(a,f(x))?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von datura
Okay, also O(0,0), P(a,0) und R(a,f(x))?


R(a,f(a))!!!
datura Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ja, klingt logisch.

Nur woher weiß ich nun, wann es maximal ist?
R müsste ja eigentlich ein Tiefpunkt sein, oder? Oder zumindest ein WP?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Das ganze klingt doch ziemlich nach einer Extremwertaufgabe...

Gehe folgende Punkte durch:

1. Was soll maximiert werden /Was soll maximal werden?

2. Zielfunktion aufstellen.

3. Extremwerte bestimmen.
datura Auf diesen Beitrag antworten »

Also, der Flächeninhalt für ein Dreieck ist ja .
h wäre ja dann das Stückchen zwischen P und R, oder?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich würde aber lieber schreiben



da ja negativ sein kann. Und Längen sind nunmal positiv. Deshalb der Betrag.

Ja, aber sonst stimmt das schon.
datura Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, wenn h dann wirklich das Stück dazwischen ist, dürfte ich das hinkriegen...

Stell ich die Zielfunktion jetzt mittels der gegebenen Funktionsgleichung f(x) auf, das dann f(a) wird? verwirrt
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Ja natürlich.
datura Auf diesen Beitrag antworten »


Einen Tiefpunkt hab ich schon von der Aufgabe davor - der lautet T(-1,-2).

Jetzt komm ich aber schon wieder nicht weiter, wir haben noch nichts in der Art gemacht im Unterricht. unglücklich
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Deine zu maximierende Größe hast du nun schon hingeschrieben. Jetzt musst du nur noch einsetzen. Was ist denn die Höhe?

Dann ergibt sich



Der ursprüngliche Tiefpunkt der Funktion hat damit erstmal gar nichts zu tun.
datura Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, die Höhe ist der Abstand zwischen P und R, also weil die y-Achse ja y=a war.

vielleicht?
datura Auf diesen Beitrag antworten »

x=a meinte ich, Pardon.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Benutze bitte das nächste Mal die Editierfunktion des Boards.

Nein, deine Lösung ist falsch.

Wie berechnet man denn den Abstand zweier Punkte?
datura Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke gerade an Vektoren, aber das geht wohl kaum.

Durch einen Wendepunkt oder irgendeinen Extrempunkt vielleicht?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: Formelsammlung.

Der Abstand zweier Punkte und berechnet sich zu

datura Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste die Zielfunktion sein, also .
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
datura Auf diesen Beitrag antworten »

Okay... das ist schon mal gut. smile

Muss ich nun die ersten beiden Ableitungen bilden und nach Extrempunkten suchen?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorraum
Das ganze klingt doch ziemlich nach einer Extremwertaufgabe...

Gehe folgende Punkte durch:

1. Was soll maximiert werden /Was soll maximal werden? Erledigt!

2. Zielfunktion aufstellen. Erledigt!

3. Extremwerte bestimmen.
datura Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, fiel mir auch wieder ein gerade. Hammer

Ich liste mal auf...




Stimmen die Ableitungen so?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben doch



Und nun nutze die Produktregel!!!

Deine Ableitungen sind beide falsch.
datura Auf diesen Beitrag antworten »

?
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Wo kommt denn das e vor??? Ich erkenne hier keine Produktregel. Wie lautet die Produktregel und was sind deine beiden Faktoren?
datura Auf diesen Beitrag antworten »

Produktregel ist doch u'v+v'u... Und für die Ableitung von e-Funktionen muss man doch immer die Kettenregel anwenden, dachte ich. unglücklich

Die beiden Faktoren sind jedenfalls 2a sowie e^(1+a).
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst wohl und .

Dann ist






v musst du mit der Kettenregel ableiten: Ableitung der inneren mal Ableitung der äußeren Funktion.
datura Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so meinte ich das auch... Mh, ich versuch's nochmal:



Wenn die nicht stimmt, weiß ich auch nicht mehr weiter. unglücklich
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Wir machen hier eine Baustelle nach der anderen auf. Anscheinend kannst du die Kettenregel nicht: Verbal formuliert habe ich diese ja schon weiter oben.

Speziell bei der e-Funktion kannst du dir merken:



Damit solltest du deine Ableitung jetzt hinbekommen.
datura Auf diesen Beitrag antworten »

vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig!
datura Auf diesen Beitrag antworten »

Schwere Geburt... Hammer

Na ja, die nun 0 setzen.



Gilt dann, wenn a=0 oder a=-1.


In zweite Ableitung einsetzen.
Also, zweite Ableitung ist erstmal:


Falls die stimmt, muss ich 0 und -1 in die zweite Ableitung für a einsetzen.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von datura


Gilt dann, wenn a=0 oder a=-1.



Woher hast du denn das?
datura Auf diesen Beitrag antworten »

Hoppla, hab das Plus dazwischen vergessen...

Also, bei a=0 stimmt's auf jeden Fall, oder? Würde dann denken, dass es wirklich nur dann 0 wird.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist aber nur eine Lösung...

Tipp: Ausklammern!
datura Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt kann ich das nicht...
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst doch nur hier einmal ausklammern. Das ist Stoff aus der achten Klasse. Welcehr Ausdruck kommt denn in beiden Summanden vor? Diesen klammerst du dann aus, wie z.B. hier:

.

Wende das nun an auf:

datura Auf diesen Beitrag antworten »

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