Sinn der Stammfunktion!?

31.08.2006, 05:42

zt

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Sinn der Stammfunktion!?

Ich wollte damit das jetzt das Analysis-Forum nicht zuspammen - deshalb hier.

Ich verstehe den Sinn und Zweck des Unbestimmten Integrals nicht.

Ich habe zum Beispiel das unbestimmte Integral ermittelt:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\left|\sin(\pi\cdot x)\right|~dx = -\frac{sign(\sin(\pi\cdot x))\cdot\cos(\pi\cdot x)}{\pi} \end{eqnarray*}$

Und wie integriere ich jetzt zBsp.: von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ?, oder mit Werten ausgedrückt: von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Bei Wikipedia ist der Abschnitt zum unbestimmten Integral nur 3 Zeilen lang und dort steht "..dass Gleichungen für beliebige, konsistent gewählte Grenzen gelten;" Das haut aber nicht hin hier. traurig

traurig

Bin um Hilfe dankbar! Wink

Wink

31.08.2006, 07:45

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Schauen wir uns mal deine rechte Seite an:

Bei ganzzahligen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ springt diese Funktion von $\begin{eqnarray*} +\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ . Eine Stamm- bzw. genauer Integralfunktion ist aber überall stetig!

Was bedeutet: Du kannst deine Stammfunktion nur für bestimmte Integrale mit Grenzen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ nutzen, die zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen liegen.

Willst du das vermeiden, musst du deine rechte Funktion so anpassen, dass sie tatsächlich zur Stammfunktion wird, d.h., an den Unstetigkeitsstellen geeignet verschieben:

Verschoben

31.08.2006, 19:23

zt

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Danke Arthur. Prinzipiell verstehe ich was du meinst.

Gibt es eine Möglichkeit, ein unbestimmtes Integral in Mupad, Maple, Derive, etc. in ein bestimmtes Integral umzuwandeln?

31.08.2006, 19:26

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Tja, die Grenzen mit angeben, in MuPad z.B. int(f(x),x=a..b) .

31.08.2006, 19:36

zt

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Sorry, ich meine die Unstetigkeitsstellen anpassen, wenn nicht f(x), sondern nur F(x) gegeben ist.

also gegeben ist mein:

und von Mupad ermittelt werden soll dein:

$\begin{eqnarray*} -\frac{sign(\sin(\pi\cdot x))\cdot\cos(\pi\cdot x)}{\pi}+\frac{2}{\pi}\cdot floor(x) \end{eqnarray*}$

Ist das machbar in Mupad?

31.08.2006, 21:00

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Tja, bei variablen Grenzen int(abs(sin(PI*x)),x=a..b) hat sich MuPad etwas zickig. Aber mit konkreten geht es ganz gut, so liefert int(abs(sin(PI*x)),x=1..5) das korrekte Ergebnis.

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31.08.2006, 23:16

zt

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Ich will das gerade mit dem Integralkosinus testen,
aber der Funktionenplotter hier im Board kennt "Ci()" nicht.

Wie heißt die Fkt. dort?

01.09.2006, 05:30

zt

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So, nächstes Problem:

Ich hab' das unbestimmte Integral von
$\begin{eqnarray*} f(x)=\left|sin(\frac{\pi}{x})\right| \end{eqnarray*}$ bestimmt.
Und nun möchte ich die Unstetigkeitslücken, so verschieben, dass ich einfach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ integrieren kann. (siehe Anhang)

Ich weiss zwar, dass Unstetigkeitsstellen immer bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ auftreten, aber mit dem "Rückwerts"-Zusammenschuhstern komm' ich nicht klar. verwirrt

verwirrt

Ich bitte um Hilfe! Gott

Gott

Gott

01.09.2006, 06:46

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Nach dem Beispiel vorher mit dem Betragsintegral, sowie all den Betrachtungen vorher zur Betragsfunktion überhaupt, solltest du das jetzt mal selbständig packen!

01.09.2006, 20:13

zt

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naja, der Abstand zwischen den Unstetigkeitsstellen strebt für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . deshalb kann ich ja nicht einfach $\begin{eqnarray*} C=???\cdot floor(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ setzen. und die andere Frage die noch offen ist, um welches $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ springt der Graph an den Unstetigkeitsstellen genau.. Konstant wie im obigen Fall mit $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi} \end{eqnarray*}$ ist's ja nicht mehr.. verwirrt

verwirrt

Hab' mir in der Schule schon den Kopf zerbrochen, aber ich komme einfach nicht drauf. traurig

traurig

01.09.2006, 21:36

AD

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Wenn man die Sprunghöhe einer solchen Unstetigkeitsstelle an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ feststellen will, berechnet man

$\begin{eqnarray*} h = \lim\limits_{x \sea x_0} f(x) - \lim\limits_{x \nea x_0} f(x) \end{eqnarray*}$ .

02.09.2006, 00:08

zt

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Ich sitze jetzt schon den ganzen Abend dran und bin am verzweifeln.
Mit Fließkommawerten kommt man hier nicht weiter. Ich hab' versucht 'ne Funktion aufzustellen, die die Sprunghöhe beschreibt.
Und mein Ansatz

kann auch nicht stimmen, da für jedes $\begin{eqnarray*} k>1 \end{eqnarray*}$ nämlich $\begin{eqnarray*} floor(\frac{1}{k}) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ evaluiert.. traurig

traurig

Edit: Ich geb' erstmal auf. Hoffe du hilfst mir trotzdem nochmal, auch wenn du schon wieder innerlich brodelst Arthur! Gott

Gott

02.09.2006, 19:32

AD

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Mit floor kommst du hier nicht groß weiter, da die Sprungstellen hier unterschiedlich hoch sind und zudem auch noch diese blöde Ci drinnsteckt. Da wirst du um eine Summe $\begin{eqnarray*} \sum (\cdots) \end{eqnarray*}$ der Sprunghöhen nicht drumrumkommen...

Ok, beim oberen Summenindex kannst du das floor dann doch noch gebrauchen...

02.09.2006, 20:14

zt

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Im Bereich von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ befinden sich doch unendlich viele Sprungstellen. Wie soll denn da die Summe genau weiterhelfen?

02.09.2006, 20:31

AD

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Kein Mensch schreibt vor, dass du 0 als Ausgangspunkt nehmen musst. Nimm doch die 1.

02.09.2006, 20:51

zt

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Aber dann muss ich doch den Graphen von $\begin{eqnarray*} 0,5-1 \end{eqnarray*}$ doch entsprechend justieren (nach oben verschieben). Oder wie meinst du das Arthur?

Edit: Ich hab's jetzt einfach mit der Summenformel realisiert. Evtl. schau' ich mir das hier nochmal später an, aber z.Z. geht mir diese Aufgabe ganz schön gegen den Strich. *g* Also lassen wir das. Danke Arthur! Wink

Wink

08.09.2006, 03:21

zt

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Hallo Arthur,

hier mein Ansatz, um für das unbestimmte Integral (siehe oben) von $\begin{eqnarray*} \left|sin(\frac{\pi}{x})\right| \end{eqnarray*}$ eine passende Integrationskonstante $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ aufzubauen.

Wie lässt sich die Sprunghöhe in Abhängigkeit von der Periode definieren, ohne die Summenformel $\begin{eqnarray*} \sum \end{eqnarray*}$ zu verwenden? Ich krieg's nicht gebacken. traurig

traurig

08.09.2006, 14:23

AD

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Zitat:

Original von Zahlentheorie
Wie lässt sich die Sprunghöhe in Abhängigkeit von der Periode definieren, ohne die Summenformel $\begin{eqnarray*} \sum \end{eqnarray*}$ zu verwenden? Ich krieg's nicht gebacken.

Ich auch nicht. Was ist denn auch so wichtig an so einer "summenfreien" Darstellung, abgesehen von der Bequemlichkeit?

09.09.2006, 04:36

zt

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Danke Arthur, ich hatte nur Angst eine Vereinfachung übersehen zu haben. Freude

Freude

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