Lineare Abbildungen, Unterräume

01.12.2008, 12:44

Sandra21

Lineare Abbildungen, Unterräume

Hallo,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} f: V\mapsto W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung, sei $\begin{eqnarray*} V' \end{eqnarray*}$ Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ Unterraum von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ . Dann sind auch $\begin{eqnarray*} f(V') \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(W') \end{eqnarray*}$ Unterräume.

Nun wie soll ich da vorgehen?
Ich habe mir gedacht ich gehe so vor:
Sei $\begin{eqnarray*} f(x),f(y)\in W' \end{eqnarray*}$ dann gilt, wegen $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ Unterraum von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ linear. $\begin{eqnarray*} f(x)+f(y)=f(x+y)\in W' \end{eqnarray*}$ Somit abgeschlossen unter Addition....

Ist so der Gedankengang richtig oder liege ich auf der falschen Spur?

Vielen dank

01.12.2008, 12:56

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RE: Lineare Abbildungen, Unterräume
Dein Gedankengang ist nicht völlig falsch, aber im Grunde ist doch dies zu zeigen:

Wenn $\begin{eqnarray*} u, v \in f^{-1}(W') \end{eqnarray*}$ ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} u + v \in f^{-1}(W') \end{eqnarray*}$ .

01.12.2008, 13:02

Sandra21

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RE: Lineare Abbildungen, Unterräume
Ok und wie argumentiere... bzw. zeige ich das?
Wenn $\begin{eqnarray*} u,v \in f^{-1}(W') \end{eqnarray*}$ ist, bedeutet dass doch aber auch $\begin{eqnarray*} u,v \in V' \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} f^{-1}(W')\subseteq V' \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} V' \end{eqnarray*}$ Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} u+v\in f^{-1}(W') \end{eqnarray*}$ .
Kann das so sein?

01.12.2008, 13:22

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RE: Lineare Abbildungen, Unterräume
Jetzt liegst du etwas daneben. Wieso sollte $\begin{eqnarray*} f^{-1}(W')\subseteq V' \end{eqnarray*}$ sein? Davon war nirgendwo die Rede.

Wenn $\begin{eqnarray*} u,v \in f^{-1}(W') \end{eqnarray*}$ sind, bedeutet das, daß $\begin{eqnarray*} f(u), f(v) \in W' \end{eqnarray*}$ sind. Jetzt kommst du mit deinem Gedankengang.

01.12.2008, 13:51

Sandra21

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RE: Lineare Abbildungen, Unterräume
Ok, also ich argumentiere dann so weiter.
Wegen $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ Unterraum von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ linear, gilt: $\begin{eqnarray*} f(u)+f(v)=f(u+v)\in W'\Rightarrow u+v\in f^{-1}(W') \end{eqnarray*}$ und somit abgeschlossen unter der Addition. Stimmts?

Genauso müsste ich das jetzt ja auch mit der abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation machen:
Sei $\begin{eqnarray*} u,v\in f^{-1}(W')\Rightarrow f(u),f(v)\in W' \end{eqnarray*}$ Wegen $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ Unterraum von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(u)\cdot f(v)=f(u\cdot v)\in W' \Rightarrow u\cdot v\in f^{-1}(W') \end{eqnarray*}$ also abgeschlossen unter Multiplikation.
Jetzt fehlt mir noch, dass $\begin{eqnarray*} 0\in f^{-1}(W') \end{eqnarray*}$ ist, dazu fällt mir jetzt aber nicht ein wie ich das zeigen könnte?
Muss ich eigentlich auch noch zeigen, dass die Skalarmultiplikation auch gilt?

01.12.2008, 13:54

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RE: Lineare Abbildungen, Unterräume

Zitat:

Original von Sandra21
Muss ich eigentlich auch noch zeigen, dass die Skalarmultiplikation auch gilt?

Ja, und zwar für die und nur für die. Die andere Multiplikation f(u) * f(v) gibt es unter Umständen gar nicht.

01.12.2008, 13:57

Sandra21

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RE: Lineare Abbildungen, Unterräume
Ahsoo, alles klar... ich versuchs dann mal...
Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \wedge u\in f^{-1}(W')\Rightarrow f(u)\in W' \end{eqnarray*}$ , dann gilt wegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ linear: $\begin{eqnarray*} \lambda f(u)=f(\lambda u)\in W' \Rightarrow \lambda u\in f^{-1}(W') \end{eqnarray*}$

Vielleicht könnte ich ja so zeigen, dass die 0 drinn liegt.
Also wegen $\begin{eqnarray*} V' \end{eqnarray*}$ Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} 0\in V' \end{eqnarray*}$ somit $\begin{eqnarray*} f(0)\in W'\Rightarrow 0\in f^{-1}(W') \end{eqnarray*}$

01.12.2008, 14:22

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RE: Lineare Abbildungen, Unterräume

Zitat:

Original von Sandra21
Also wegen $\begin{eqnarray*} V' \end{eqnarray*}$ Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} 0\in V' \end{eqnarray*}$ somit $\begin{eqnarray*} f(0)\in W'\Rightarrow 0\in f^{-1}(W') \end{eqnarray*}$

Das hätte ich so formuliert:

Wegen $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ Unterraum von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(0_V) = 0_W \in W' \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} 0_V \in f^{-1}(W') \end{eqnarray*}$ .

Ich habe mal die Nullelemente indiziert, um zu unterscheiden, aus welchem Raum die kommen.

01.12.2008, 14:42

Sandra21

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RE: Lineare Abbildungen, Unterräume
Ok, damit hätte ich gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(W') \end{eqnarray*}$ Unterraum ist. Gleiches gilt jetzt für $\begin{eqnarray*} f(V') \end{eqnarray*}$ .

Ich beginne mal so:
Seien $\begin{eqnarray*} u,v\in V'\Rightarrow f(u),f(v)\in f(V') \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ Unterraum von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ und f linear gilt: $\begin{eqnarray*} f(u)+f(v)=f(u+w)\in f(V') \end{eqnarray*}$

Weiterhin, sei $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \wedge u\in V' \Rightarrow f(u)\in f(V') \end{eqnarray*}$ . Es folgt, wegen $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ Unterraum von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ und f linear: $\begin{eqnarray*} \lambda f(u)=f(\lambda u)\in f(V') \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} V' \end{eqnarray*}$ Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} 0_v\in V' \Rightarrow f(0_v)=0_w\in f(V') \end{eqnarray*}$

Passt das so?

01.12.2008, 15:00

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RE: Lineare Abbildungen, Unterräume

Zitat:

Original von Sandra21
Seien $\begin{eqnarray*} u,v\in V'\Rightarrow f(u),f(v)\in f(V') \end{eqnarray*}$ .

Man sollte immer so anfangen, daß man Elemente aus demjenigen Raum nimmt, für den man die Unterraum-Eigenschaften zeigen will. Also:

Seien $\begin{eqnarray*} x, y \in f(V') \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es $\begin{eqnarray*} u,v \in V' \end{eqnarray*}$ mit x = f(u) und y = f(v). Wegen $\begin{eqnarray*} V' \end{eqnarray*}$ Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und f linear gilt: $\begin{eqnarray*} x+y = f(u)+f(v) = f(u+v) \in f(V') \end{eqnarray*}$

01.12.2008, 17:16

Sandra21

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RE: Lineare Abbildungen, Unterräume
Ok dankeschön... eine Frage habe ich aber noch.

Als du gezeigt hast dass die 0 ein Element von $\begin{eqnarray*} f^{-1}(W') \end{eqnarray*}$ ist hast du so argumentiert: Wegen $\begin{eqnarray*} W' \end{eqnarray*}$ Unterraum von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(0_V)=0_W \end{eqnarray*}$ , aber wieso gilt das? Wieso ist ausgerechnet $\begin{eqnarray*} f(0_V)=0_W \end{eqnarray*}$ und nicht für ein anderes $\begin{eqnarray*} u\in V' \end{eqnarray*}$ ?
Sorry für die blöde Frage, aber ich will nunmal alles verstehen.

01.12.2008, 18:21

klarsoweit

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RE: Lineare Abbildungen, Unterräume
Natürlich kann es irgendwelche u aus V geben mit $\begin{eqnarray*} f(u) = 0_V \end{eqnarray*}$ .
Da f aber linear ist, gilt: $\begin{eqnarray*} f(0_V) = f(0 \cdot 0_V) = 0 \cdot f(0_V) = 0_W \end{eqnarray*}$

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