Lineare Abbildung

01.12.2008, 18:18

Sandra21

Lineare Abbildung

Ich habe noch eine Aufgabe bei der ich Schwierigkeiten habe, meine Definitionen richtig anzuwenden.

Sei $\begin{eqnarray*} f: V\mapsto W \end{eqnarray*}$ lineare Abbildung. Dann gilt:

a) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Für jede linear unabhängige Teilmenge $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(L) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig in W.

Ich möchte zunächst diese Richtung zeigen:
" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "
Da L für jede linear unabhängige Teilmenge $\begin{eqnarray*} L\subseteq V \end{eqnarray*}$ ist, existiert eine linear unabhängige Teilmenge $\begin{eqnarray*} L'\subseteq L \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L'=\{v_1,v_2,...,v_r\} \end{eqnarray*}$ , d.h. aus $\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+...+\lambda_r v_r=0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_r=0 \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt: $\begin{eqnarray*} f(\sum_{k=1}^r~\lambda_i v_i)=\sum_{k=1}^r~\lambda_i f(v_i) \end{eqnarray*}$ wegen f linear. Weiterhin gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^r~\lambda_i =0 \end{eqnarray*}$ und somit: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^r~\lambda_i f(v_i)=0=f(\sum_{k=1}^r~\lambda_i v_i) \Rightarrow \lambda_i v_i \in \text{Kern} \ f \end{eqnarray*}$ .
Da f injektiv ist, gilt $\begin{eqnarray*} \text{Kern} \ f=0 \end{eqnarray*}$ , d.h $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^r~\lambda_i v_i=0\Rightarrow \end{eqnarray*}$ alle $\begin{eqnarray*} \lambda_i=0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} L'=\{1,2,...,r\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.
Somit folgt aus: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^r~\lambda_i f(v_i)\Rightarrow \sum_{k=1}^r~\lambda_i=0\Rightarrow f(L) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Ist diese Richtung richtig gezeigt? Das wäre sehr nett, wenn ihr mir da helfen könntet.

Danke

01.12.2008, 21:21

Reksilat

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RE: Lineare Abbildung

Zitat:

Ich möchte zunächst diese Richtung zeigen:
" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "
Da L für jede linear unabhängige Teilmenge $\begin{eqnarray*} L\subseteq V \end{eqnarray*}$ ist, existiert eine linear unabhängige Teilmenge $\begin{eqnarray*} L'\subseteq L \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L'=\{v_1,v_2,...,v_r\} \end{eqnarray*}$ , d.h. aus $\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+...+\lambda_r v_r=0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_r=0 \end{eqnarray*}$ .

Wozu ist dieses L' gut? Geht auch ohne: Sei $\begin{eqnarray*} L=\{v_1,\ldots,v_r\} \end{eqnarray*}$ eine linear unabhängige Teilmenge von V...

Zitat:

Weiterhin gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^r~\lambda_i =0 \end{eqnarray*}$

Nein! Die Lambdas müssen zuvor definiert werden. Woher sollen sie hier kommen?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^r~\lambda_i f(v_i)=0=f(\sum_{k=1}^r~\lambda_i v_i) \Rightarrow \lambda_i v_i \in \text{Kern} \ f \end{eqnarray*}$ .

Hier das gleiche. Wo kommen die Lambda her? Besser: Seien $\begin{eqnarray*} \lambda_i\in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^r~\lambda_i f(v_i)=0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^r~\lambda_i f(v_i)=0=f(\sum_{k=1}^r~\lambda_i v_i) \Rightarrow \sum_{k=1}^r\lambda_i v_i \in \text{Kern} \ f \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Da f injektiv ist, gilt $\begin{eqnarray*} \text{Kern} \ f=0 \end{eqnarray*}$ , d.h $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^r~\lambda_i v_i=0\Rightarrow \end{eqnarray*}$ alle $\begin{eqnarray*} \lambda_i=0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} L'=\{1,2,...,r\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

In Ordnung! Am Ende: $\begin{eqnarray*} L=\{v_1,\ldots,v_r\} \end{eqnarray*}$ ist linear unabhängig

Zitat:

Somit folgt aus: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^r~\lambda_i f(v_i)\Rightarrow \sum_{k=1}^r~\lambda_i=0\Rightarrow f(L) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Nicht nur die Summe, sondern jedes einzelne Lambda ist Null. Das ist wichtig!

03.12.2008, 17:45

Sandra21

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RE: Lineare Abbildung
Ok ich habs verstanden...
Die andere Inklusion habe ich auch schon gemacht...

Nun habe ich mich an die nächste Aufgabe gewagt:

b) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Für jedes Erzeugendensystem $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(E) \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ .

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "

Sei $\begin{eqnarray*} w\in \text{Bild} \ f \end{eqnarray*}$ . Dann $\begin{eqnarray*} \exists v\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(w)=v \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv.

Da $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} v=\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+...+\lambda_re_r \end{eqnarray*}$ für geeignete $\begin{eqnarray*} \lambda_i\in K \end{eqnarray*}$ .

Es folgt: $\begin{eqnarray*} f(v)=f(\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+...+\lambda_re_r)=w \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ linear gilt: $\begin{eqnarray*} f(v)=f(\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+...+\lambda_re_r)=f(\lambda_1e_1)+f(\lambda_2e_2)+...+f(\lambda_re_r)=\lambda_1f(e_1)+\lambda_2f(e_2)+...+\lambda_rf(e_r)=w \end{eqnarray*}$ für geeignete $\begin{eqnarray*} \lambda_i \in K\Rightarrow f(E) \end{eqnarray*}$ ist Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ "
Es gilt: $\begin{eqnarray*} f(E) \end{eqnarray*}$ Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ d.h $\begin{eqnarray*} w=\lambda_1f(e_1)+\lambda_2f(e_2)+...+\lambda_rf(e_r) \end{eqnarray*}$ für geeignete $\begin{eqnarray*} \lambda_i\in K \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ linear folgt: $\begin{eqnarray*} w=\lambda_1f(e_1)+\lambda_2f(e_2)+...+\lambda_rf(e_r)=f(\lambda_1e_1)+f(\lambda_2e_2)+...+f(\lambda_r e_r)=f(\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+...+\lambda_re_r) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} v=\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+...+\lambda_re_r \end{eqnarray*}$ für geeignete $\begin{eqnarray*} \lambda_i\in K\Rightarrow f(\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+...+\lambda_re_r)=f(v)=w \Rightarrow f \end{eqnarray*}$ surjektiv.

Ist das denn so richtig gezeigt?

03.12.2008, 18:24

Reksilat

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RE: Lineare Abbildung
Sieht gut aus Freude

Nur ein paar Formulierungen würde ich anders wählen:

Zitat:

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "

Sei $\begin{eqnarray*} w\in \text{Bild} \ f \end{eqnarray*}$ . Dann $\begin{eqnarray*} \exists v\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(w)=v \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv.

Du solltest mit $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ beginnen, denn Du willst schließlich zeigen, dass sich w mit f(E) erzeugen lässt. $\begin{eqnarray*} w\in \text{Bild}(f) \end{eqnarray*}$ folgt dann aus der Surjektivität.
Am besten auch noch: Sei $\begin{eqnarray*} E=\{e_1,..,e_r\} \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von V erwähnen. Sonst kommen die $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ so undefiniert daher.

Zitat:

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ "
Es gilt: $\begin{eqnarray*} f(E) \end{eqnarray*}$ Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ d.h $\begin{eqnarray*} w=\lambda_1f(e_1)+\lambda_2f(e_2)+...+\lambda_rf(e_r) \end{eqnarray*}$ für geeignete $\begin{eqnarray*} \lambda_i\in K \end{eqnarray*}$ .

Woher kommt das w? Beginne mit: Sei $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ beliebig.

Zitat:

Da $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} v=\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+...+\lambda_re_r \end{eqnarray*}$ für geeignete $\begin{eqnarray*} \lambda_i\in K\Rightarrow f(\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+...+\lambda_re_r)=f(v)=w \Rightarrow f \end{eqnarray*}$ surjektiv.

Dass E ein Erzeugendensystem ist, wird hier nicht benötigt, Außerdem sind die Lambdas ja schon vorher bekannt. Schreibe also:
Setze $\begin{eqnarray*} v=\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+...+\lambda_re_r \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f(v)=w \end{eqnarray*}$ , also hat w ein Urbild und f ist somit surjektiv

03.12.2008, 18:38

Sandra21

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RE: Lineare Abbildung
Super vielen dank smile

Allerdings bin ich noch nicht fertig und hätte noch zwei Teilaufgaben.

c) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bijektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Für jede Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(B) \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ .

d) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Für ein Erzeugendensystem $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(E) \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ .
Gilt analoge Aussage auch für a) und c)

Also zur c)

Da habe ich einfach mithilfe von schon gezeigtem in a) und b) argumentiert.

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bijektiv $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ i) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv.
Weiterhin gilt: $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ linear unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(B) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$

ii) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv. Wegen $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ insbesondere Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} V\Rightarrow f(B) \end{eqnarray*}$ Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$

Analog habe ich die andere Richtung gezeigt. Darf ich das so machen?

Nun bei der d) weiß ich leider nicht wie ich vorgehen muss: Ich habe da irgendwo einen Denkfehler, denn bei b) steht für jedes Erzeugendensystem, dann gilt das doch erst recht für ein Erzeugendensystem.

Wo ist da mein Denkfehler?

Danke

03.12.2008, 19:27

Reksilat

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RE: Lineare Abbildung
c): Ist OK.

d): Kein Denkfehler. Die eine Richtung ist trivial und für die andere Richtung musst Du Dir nur Deinen Beweis für die Rückrichtung in b) anschauen, in dem Du ja letztlich nur ein(!) Erzeugendensystem benötigst.

Übrigens kann man c) auch dahingehend umformen, dass nur f(B) ist Basis von W für eine Basis von V gefordert wird, bei a) geht das nicht.

03.12.2008, 19:43

Sandra21

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RE: Lineare Abbildung
Du sagst ich muss auf die Rückrichtung bei b) schauen...
Da habe ich ja $\begin{eqnarray*} v=\lambda_1e_1+...+\lambda_rv_r \end{eqnarray*}$ gesetzt und somit ein Erzeugendensystem genommen... oder muss ich $\begin{eqnarray*} \lambda_i\in K, e_i\in E \end{eqnarray*}$ fest wählen und habe somit genau ein Erzeugendensystem um zu zeigen, dass f surjektiv ist?

03.12.2008, 23:03

Reksilat

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RE: Lineare Abbildung
Bei der Rückrichtung wird nur die Existenz eines(!) Erzeugendensystem E mit mit <f(E)>=W benötigt. Dass dies für alle Erzeugendensystem gilt, brauchst Du nicht!
(Also gilt der Beweis auch bei d))

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