potenzreihe finden

02.12.2008, 13:06

dr_fine

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potenzreihe finden

hi
ich muss eine aufgabe rechnen weiß alerdings nicht so recht wie ich da rangehen soll.

Finden Sie eine Potenzreihe so das die identität (1) jedenfalls in einer Umgebung von Null gilt.

(1) $\begin{eqnarray*} \frac{z}{z-2} = \sum_{n=0}^\infty a_n*z^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z \in C |\mid z\mid < \varepsilon \end{eqnarray*}$

wäre echt nett wenn ihr mir da auf die sprünge helfen würdet, danke schonmal im voraus

02.12.2008, 13:41

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \frac z {z-2} = 1 + \frac{2}{z-2} = 1 - \frac{1}{1-\frac z 2} \end{eqnarray*}$

02.12.2008, 14:05

dr_fine

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hm ich glaub das hilft mir nur so mäßig weiter...is mir noch nicht so klar was ich damit machen soll. ich muss das ja irgendwie in eine potenzreihe umformen

02.12.2008, 14:15

WebFritzi

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Denk mal an die geometrische Reihe. Sowas sollte dir sofort ins Auge fallen.

02.12.2008, 15:29

dr_fine

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ich mach sowas zum ersten mal in meinem leben und hab die potenzreihe scheinbar nicht so recht verstanden, sonst könnte ich sowas wohl auch rechnen

geometrische reihe sieht doch so aus

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n*z^n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a_n*\frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$

z<1

hab ich hier also die folgende potenzreihe?:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n*(1-\frac{z^n}{2}) =\frac{z}{z-2} \end{eqnarray*}$

02.12.2008, 15:45

WebFritzi

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Zitat:

Original von dr_fine
geometrische reihe sieht doch so aus

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n*z^n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a_n*\frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$

z<1

Nein, nicht ganz. Wieso schaust du nicht erstmal unter z.B. Wikipedia nach anstatt etwas falsches zu posten?

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02.12.2008, 16:33

dr_fine

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ok sorry bei wikki steht a_0 statt a_n

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^ \infty a_0*z^n= \frac{a_0}{1-z} \end{eqnarray*}$

02.12.2008, 16:37

WebFritzi

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Jo, und nun setz mal a_0 = 1, verwende die Formel und die von mir angegebene Gleichheit.

02.12.2008, 17:00

dr_fine

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ok ich hab da jetzt z= wurzel(2) raus und mach man das immer so dass man a_0 =1 setzt?

is meine potenzreihe ist dann ? :

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n*\sqrt{2} ^n \end{eqnarray*}$

02.12.2008, 18:05

WebFritzi

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Zitat:

Original von dr_fine
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n*\sqrt{2} ^n \end{eqnarray*}$

Was ist a_n? Konvergiert die Reihe? Ist $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 < 1 ? \end{eqnarray*}$

02.12.2008, 18:35

dr_fine

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ne das hat mich auch schon stutzig gemacht das es bei wurzel 2 nicht konvergieren würde da es nur bei <1 konvergiert, aber was soll ich denn jetzt mit dem z machen, es kommt doch wurzel 2 raus wenn ich folgendes rechne

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z}=1- \frac{1}{1-\frac{z}{2}} \end{eqnarray*}$

oder nicht???

02.12.2008, 18:47

WebFritzi

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Mensch Meier, was ist denn

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{z}{2}} \end{eqnarray*}$

als geometrische Reihe geschrieben (|z| hinreichend klein)?

02.12.2008, 18:54

dr_fine

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$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^ \infty a_0*(\frac{z}{2})^n \end{eqnarray*}$ ?

02.12.2008, 18:57

WebFritzi

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Was zum Teufel ist a_0?

02.12.2008, 19:00

dr_fine

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ich denke potenzreihen haben so eine form mit summe a_n * z^n. oder so ähnlich? also soll ich das a_o weglassen?

02.12.2008, 19:10

WebFritzi

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Zitat:

Original von dr_fine
ich denke potenzreihen haben so eine form mit summe a_n * z^n. oder so ähnlich?

Ja und? Es geht hier um eine geopmetrische Reihe. Da ist das a_n immer konstant. Also allgemein a_0 oder c oder wie auch immer. Aber hier haben wir einen speziellen Fall. Du musst also das a_0 angeben. Wie soll ich denn deine geometrische Reihe ausrechnen, wenn ich den Wert von diesem a_0 nicht kenne?

02.12.2008, 19:34

dr_fine

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ich raffs nicht
ich hab doch auch kein a_0 gegeben, du hast doch gesagt ich soll es gleich 1 setzten um mithilfe der umgeformten linken seite der gleichung z auszurechnen. da hab ich jetzt wurzel 2 rausbekommen
also ist a_0 doch 1 wie du gesagt hat oder nicht?

02.12.2008, 19:44

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^ \infty a_0*z^n= \frac{a_0}{1-z} \end{eqnarray*}$

Du hast diese Formel und sollst jetzt $\begin{eqnarray*} \frac 1 {1-\frac z 2} \end{eqnarray*}$ durch eine geometrische Reihe ersetzen. Das kann doch nicht so schwer sein. Es handelt sich hier lediglich um Einsetzen. Sorry, aber mehr Tipps kann ich dir nicht geben. Sonst würde ich dir die Aufgabe lösen.

02.12.2008, 20:18

dr_fine

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als geometrische reihe ist das den doch :

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^ \infty (\frac{z}{2})^n \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

02.12.2008, 20:26

WebFritzi

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Na also... Und für welche z konvergiert diese?

02.12.2008, 20:32

dr_fine

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ich würd mal sagen für alle z<2

02.12.2008, 21:44

prinzschleifer

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Das is ja nix anderes als ne Potenzreihe, die man umschreiben kann:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^ \infty (\frac{z}{2})^n \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^ \infty \frac{z^n}{2^n} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^ \infty \underbrace{\frac{1}{2^n}}_{a_n :=} \cdot z^n \end{eqnarray*}$

Folgende Formel benutzten:
$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{2^{n+1}}{2^n} \right| = 1 \end{eqnarray*}$

So, also müssen wir noch die Grenzfälle untersuchen, also $\begin{eqnarray*} z_1 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2 = -1 \end{eqnarray*}$ .

Für
$\begin{eqnarray*} z_1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^ \infty \frac{1^n}{2^n} \end{eqnarray*}$ konvergent.

= $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^ \infty \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

Falls $\begin{eqnarray*} n > 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert sie, zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \leq n \leq 1 \end{eqnarray*}$ divergiert sie.

Für
$\begin{eqnarray*} z_2 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^ \infty \frac{(-1)^n}{2^n} \end{eqnarray*}$

Kann man wieder aufsplitten und erhält:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^ \infty \frac{1}{2^n} \cdot (-1)^n \end{eqnarray*}$

Diese Reihe schreit nach dem Leibnitzkriterium:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ ist eine monoton fallende Folge, den Nachweis überlass ich dir. Und sie ist zusätzlich noch eine Nullfolge, auch hier überlass ich dir den Nachweis, weil ich keine Ahnung hab wie er konkret geht smile

smile

Das Leibnitzkriterium ist nun erfüllt, also konvergiert auch diese Reihe.

Der Konvergenzradius ist nun für folgende Potenzreihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^ \infty (\frac{z}{2})^n \end{eqnarray*}$

im Bereich $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ Die obige Fallunterscheidung, kann man glaub ich weglassen, weil wir es ja bereits für 1 gezeigt haben, bin mir aber nicht sicher. Wäre nett wenn mich jemand korrigieren könnte.

02.12.2008, 22:09

Ungewiss

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Zitat:

Original von prinzschleifer
$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{2^{n+1}}{2^n} \right| = 1 \end{eqnarray*}$

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{2^{n+1}}{2^n} \right| =\lim_{n\rightarrow\infty} \left| 2 \right|=2 \end{eqnarray*}$

02.12.2008, 22:11

dr_fine

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Zitat:

Original von prinzschleifer
Folgende Formel benutzten:
$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{2^{n+1}}{2^n} \right| = 1 \end{eqnarray*}$

müsste wohl eher so sein

$\begin{eqnarray*} r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{2^{n+1}}{2^n} \right| = 2 \end{eqnarray*}$

So, also müssen wir noch die Grenzfälle untersuchen, also $\begin{eqnarray*} z_1 = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2 = -2 \end{eqnarray*}$ .

Für
$\begin{eqnarray*} z_1 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^ \infty \frac{2^n}{2^n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^ \infty1 \end{eqnarray*}$ ->divergent

Für
$\begin{eqnarray*} z_2 = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^ \infty \frac{(-2)^n}{2^n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^ \infty-1 \end{eqnarray*}$ auch divergent

03.12.2008, 02:53

WebFritzi

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Die Grenzfälle müssen nicht untersucht werden, denn das hat mit der Aufgabe nichts zu tun. Du musst jetzt noch den ursprünglichen Ausdruck als Reihe schreiben.

03.12.2008, 12:23

dr_fine

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du meinst anstatt das als reihe zu schreiben:
$\begin{eqnarray*} \frac 1 {1-\frac z 2} \end{eqnarray*}$

nun das als reihe zu schreiben:
$\begin{eqnarray*} 1-\frac 1 {1-\frac z 2} \end{eqnarray*}$

???

ps: grenzfälle haben in der tat nichts mit der aufgabe zu tun

03.12.2008, 13:08

dr_fine

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kann ich da nicht einfach folgendes schreiben? :

$\begin{eqnarray*} \frac{z}{z-2}=1-\frac 1 {1-\frac z 2}=1- \sum_{n=0}^ \infty (\frac{z}{2})^n=\sum_{n=1}^ \infty (\frac{z}{2})^n=\sum_{n=0}^\infty a_n*z^{n} \end{eqnarray*}$

da hab ich dann ja aber das problem das die ein summe von 1 läuft und die andere von 0

03.12.2008, 13:11

Dual Space

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Zitat:

Original von dr_fine
da hab ich dann ja aber das problem das die ein summe von 1 läuft und die andere von 0

Definiere halt die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ geeignet.

03.12.2008, 13:21

dr_fine

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also soll ich quasi sagen a_0=0 und a_n =(1/2)^n für n>0 ?

03.12.2008, 13:23

Dual Space

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Warum solltest du nicht?

03.12.2008, 14:42

WebFritzi

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Zitat:

Original von dr_fine
also soll ich quasi sagen a_0=0 und a_n =(1/2)^n für n>0 ?

Genau das. Deine letzten Posts gefallen mir immer besser. Ich glaube, dass du das eigentlich ganz gut kannst. Du musst dir einfach nur ein bisschen mehr vertrauen.

03.12.2008, 15:43

dr_fine

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danke für die blumen smile

smile

, wie gesagt ich mach sowas zum ersten mal, muss erstmal wissen wie es ungefähr geht.
danke übrigens für deine geduld Freude

Freude

03.12.2008, 16:12

WebFritzi

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Naja, besonders "geduldig" war ich glaub ich nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.12.2008, 20:09

dr_fine

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hab nochmal 2 fragen zum verständniss

1)wir ham in der vorlesung noch einen teil über potenzreihen nachgeholt

in der regel sieht eine potenzreihe ja so in etwa aus: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n*z^{n} \end{eqnarray*}$

was ist aber wenn sie so aussieht: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n*(z+z_0)^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_0 \in C \end{eqnarray*}$

wenn wir jetzt wieder zb. die gleiche gleichung haben

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac z 2}=\sum_{n=0}^\infty a_n*(z+z_0)^{n} \end{eqnarray*}$

2)hat mit vorherigem nichts zu tun; stimmt diese gleichung und wenn ja warum?:

$\begin{eqnarray*} 0^{0}=1 \end{eqnarray*}$

07.12.2008, 00:53

WebFritzi

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Zitat:

Original von dr_fine
stimmt diese gleichung [...]?:

$\begin{eqnarray*} 0^{0}=1 \end{eqnarray*}$

Bei Potenzreihen ist das so definiert, ja.

Deine erste Frage verstehe ich nicht. Offenbar ist dir noch nicht klar, dass geometrische Reihen Spezialfälle von Potenzreihen sind. Die Formel

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z} = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k \quad(|z| < 1) \end{eqnarray*}$

gilt nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} a_k = 1 \end{eqnarray*}$ für alle k gilt.

07.12.2008, 14:54

dr_fine

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ja ok das seh ich ein, das es nur ein spezialfall ist, ich kenn ja zb auch die potenzreihendarstellung von e^x, sinx , ...

aber wie geht man denn an ne aufgabe ran wenn man für jedes $\begin{eqnarray*} z_0 \in C \end{eqnarray*}$ eine Potenzreihe finden soll, die folgende gleichung erfüllt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty a_n*(z+z_0)^{n} \end{eqnarray*}$

09.12.2008, 03:42

WebFritzi

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Mit dem Identitätssatz für Potenzreihen: Zwei Potenzreihen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n(z+z_0)^n \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty b_n(z+z_0)^n \end{eqnarray*}$

sind genau dann gleich, wenn für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a_n = b_n. \end{eqnarray*}$

Multipliziere bei deiner Gleicchung beide Seiten mit 1-z und beachte, dass auch 1 eine Potenzreihe ist, nämlich mit a_0 = 1 und a_n = 0 für alle n > 0.

09.12.2008, 14:01

dr_fine

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dann ergibt sic das hier:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty a_n*(z+z_0)^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty b_n*(z+z_0)^{n}=(1-z) \sum_{n=0}^\infty a_n*(z+z_0)^{n} \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} b_0=1 , b_n=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{b_n*(z+z_0)^{n}}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty a_n*(z+z_0)^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{b_n}{1-z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{1}{1-z} , a_n=0 \end{eqnarray*}$

soweit so gut
das ist doch jetzt total unabgängig von z_0 aber ich will ja für jedes z_0 eine eigene potenzreihe haben.

aufgabe lautet: finde für jedes z_0 (ungleich 1) eine potenzreihe die die gleichung erfüllt und berechne den jeweiligen konvergenzradius.
muss ich da nicht sowas wie ne fallunterscheidung machen: wenn z kleiner z_0 dann hab ich die potenzreihe, ist z größer als z_0 hab hab dieunddie potenzreihe , usw...

09.12.2008, 21:21

Fragend

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Kann man nicht einfach umformen von:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z}=\frac{1}{1-z_o-z+z_0}=\frac{1}{1-z_0}*(\frac{1}{1-{\frac{z-z_0}{1-z_0}}}) \end{eqnarray*}$

mit:

$\begin{eqnarray*} \frac{z-z_0}{1-z_0}<1 \end{eqnarray*}$

und das Ganze dann mit der geometrischen Reihe

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