Fibonacci-Folge

02.12.2008, 17:02

energyfull

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Fibonacci-Folge

also bitte um hilfe wie man diese aufgabe löst:

also fibonacci folgen sind ja folgen von reellen zahlen $\begin{eqnarray*} a_n, n\geq 0 \end{eqnarray*}$ und haben die eigenschaft $\begin{eqnarray*} a_n= a_{n-1} + a_{n-2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ .

sei jetzt

$\begin{eqnarray*} F \subset \prod_{n=0}^\infty ~\mathbb R \end{eqnarray*}$ die teilmenge aller fibonacci-folgen. wie kann ich jetzt zeigen das diese teilmenge ein untervektorraum ist, und wie bestimme ich dessen dimension

02.12.2008, 17:39

tigerbine

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RE: Fibonacci-Folge
1. UVR welches Vektorraums?

2. Dessen VR Eigenschaft darf als bekannt vorausgesetzt werden?

3. Ist die Nullfolge eine Fibonacci-Folge

4. Ist die "Summenfolge" zweier F-Folgen wieder eine F-Folge?

5. Ist das Vielfache einer FFolge wieder eine FFolge?

02.12.2008, 17:49

energyfull

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also das was sie da alles gesagt haben kommt gar nicht in der frage vor.

da steht nur unter einer fibonacci folge verstehen wir eine folge von reellen zahlen $\begin{eqnarray*} a_n, n\geq 0 \end{eqnarray*}$ mit der eigenschaft $\begin{eqnarray*} a_n= a_{n-1}+a_{n-2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ . und wir haben die teilmenge aller fibonacci folgen angegeben. und sollen jetzt daraus zeigen das die teilmenge ein untervektorraum ist und dessen dimension bestimmen.

mehr steht da nicht

02.12.2008, 17:52

tigerbine

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Das soll auch nicht alles da stehen, das sind die Fragen die du dir stellen musst.

Und wenn da steht UVR, ist es doch wohl mehr als logisch das ich rückfrage, von welchem Vektorraum. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das sollte zumindest in der Aufgabe stehen.

02.12.2008, 20:32

energyfull

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nein das steht nicht da, die aufgabe ist so wie ich das geschrieben habe traurig

traurig

oder meinen sie, diese teilmenge soll als untervektorraum der fibonacci-folge dargestellt werden

02.12.2008, 20:40

tigerbine

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Dann kümmer dich erstmal um die Fragen 3-5. Diese Vorgehensweise darfst du aber NUR benutzten, wenn du weißt, dass die Elemente der Menge in einen VR liegen.

Ansonsten müßtest du zeigen, dass die FFolgen einen Vektorraum bilden. Dann sind aber "andere Axiome" zu prüfen.

EDIT:

Vielleicht kommen wir hiermit an das gewünschte. Was soll denn das sein

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \prod_{n=0}^\infty ~\mathbb R \end{eqnarray*}$

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02.12.2008, 20:48

energyfull

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hmm,

ist das nicht der prudkt der fibonacci-folge,

ich bin aber nicht so sehr sicher

02.12.2008, 20:55

tigerbine

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Ich hätte ja vermutet, dass F für die FiboF steht und das andere der VR sein soll. Da musst du mal deine Unterlagen, Kommilitonen befragen. Nun lös aber mal 3-5.

02.12.2008, 21:23

energyfull

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also ich denke schon das sie aussagen 3-5 erfüllt werden

bei 3) weiss ich nicht wie ich das machen soll

bei 4) seien $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ Folgen,

sei $\begin{eqnarray*} c_n= a_n + b_n \end{eqnarray*}$ dann gilt doch:

$\begin{eqnarray*} (a_{n-1} + a_{n-2} ) + ( b_{n-1} + b_{n-2} ) = (a_{n-1} + b_{n-1} ) + ( a_{n-2} + b_{n-2} ) = c_{n-1} + c_{n-2} \end{eqnarray*}$

und zu 5)

das mit der vielfachen:

$\begin{eqnarray*} c_n= k a_n = k (a_{n-1} +a_{n-2} ) = k a_{n-1} + k a_{n-2} = c_{n-1} + c_{n-2} \end{eqnarray*}$

ich weiss jetzt nciht ob ich das richtig verstanden habe und es dementsprechend richtig gelöst habe.

wenn man das hat, wie beweisst man denn dann das die teilmenge ein untervektorraum ist

02.12.2008, 21:31

tigerbine

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Ist denn 0 = 0 + 0 ?

Das andere ist richtig. Du hast aber nur dann den UVR gezeigt, wenn du den VR angeben kannst, in dem die Fibo folgen liegen. Von dem sollen sie ja ein VR sein. Frag am besten an der Uni nach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.12.2008, 21:35

energyfull

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ja stimmt, 0+0 =0

also somit haben wir den untervektorraum gezeigt,

ja wie es gesagt haben sthet F für Fibo. und das andere ist der VR wie sie es gesagt haben,

ich soll ja zeigen das diese teilmenge ein untervektorraum ist.

02.12.2008, 21:46

tigerbine

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Würde mich nur mal "in worten" interessieren, wie dieser VR heißt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.12.2008, 21:56

energyfull

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$\begin{eqnarray*} \prod_{n=0}^\infty ~\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist das produkt der F-Folge.
ich denke mal die folge ist der VR

03.12.2008, 03:02

WebFritzi

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Es ist ein absoluter Unsinn, den du da schreibst. Es ist hier offensichtlich der Vektorraum aller reellen Folgen gemeint. Davon ist deine Menge natürlich eine Teilmenge. Und du hast gezeigt, dass die Menge ein UVR davon ist. Fertig.

03.12.2008, 09:40

energyfull

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asoo, danke

also habe ich ich jetzt gezeigt, dass die menge ein UVR ist,wie zeige ich denn die teilmenge, dass die ein UVR ist, oder habe ich das schon gezeigt.

wie bestimmt man jetzt die dimension

03.12.2008, 11:07

tigerbine

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Na, das sind doch wohl auch reelwertig efolgen. Dann werden sie wohl Elemente des Folgenraums sein, oder?

03.12.2008, 14:55

energyfull

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ich vertsehe jetzt ihre frage nicht??

03.12.2008, 15:00

tigerbine

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Diese war rhetorisch gemeint. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.12.2008, 15:02

WebFritzi

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Ich glaube, du verstehst eh nichts... Also, der Vektorraum, in dem hier alles stattfindet, ist dieser Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{\mathbb N} = \prod_{n=1}^\infty \mathbb R, \end{eqnarray*}$ also der Raum der reellwertigen Folgen. Die Menge der Fibonacci-Folgen ist offensichtlich eine Teilmenge davon. Und du hast gezeigt (und es hoffentlich auch verstanden), dass die Menge der Fibonacci-Folgen sogar ein UVR von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn du von einem UVR redest, musst du auch immer dazu sagen, von welchem Vektorraum das ein UVR ist. Ich hoffe, du hast das jetzt endlich gerallert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.12.2008, 15:14

energyfull

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asoooo. danke

tut mir leid war bisschen verwirrt, aber danke für die erklärung.

könnten sie mir erklären wie ich dessen dimension bestimme

03.12.2008, 15:32

WebFritzi

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Sei mal $\begin{eqnarray*} \mathfrak F \end{eqnarray*}$ der Raum der Fibonacci-Folgen. Betrachte dann die folgende Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ (wie Fibonacci harhar... Big Laugh

Big Laugh

)

$\begin{eqnarray*} \Phi : \mathfrak F\to\mathbb R^2,\quad \Phi((a_n)) := \binom{a_1}{a_2}. \end{eqnarray*}$

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ein linearer Isomorphismus ist und ziehe daraus deine Schlüsse bezüglich der Dimension von $\begin{eqnarray*} \mathfrak F. \end{eqnarray*}$

03.12.2008, 16:39

energyfull

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ist das dann nicht einfach so:

f( $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ )+ f ( $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ )= f( $\begin{eqnarray*} a_1+a_2 \end{eqnarray*}$ )

und

a f $\begin{eqnarray*} (a_2) \end{eqnarray*}$ = f(a $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ )

03.12.2008, 20:22

energyfull

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???

bitte nochmal um hilfe

03.12.2008, 22:59

energyfull

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will mir keiner mehr helfen

03.12.2008, 23:13

tigerbine

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Das ist hier alles freiwillig. Wenn der WebFritzi wieder da ist, wird er seinen Gedanken auch weiterführen. Pushen ist bei uns nicht gerne gesehen, gerade so zeitnah.

Danke.

03.12.2008, 23:26

energyfull

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ich entschuldige mich dafür, ich weiss es ist freiwillig und bedanke mich auch

04.12.2008, 17:42

WebFritzi

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Zitat:

Original von energyfull
ist das dann nicht einfach so:

f( $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ )+ f ( $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ )= f( $\begin{eqnarray*} a_1+a_2 \end{eqnarray*}$ )

und

a f $\begin{eqnarray*} (a_2) \end{eqnarray*}$ = f(a $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ )

Verstehe ich nicht. Offenbar hast du die Abbildung Phi auch nicht verstanden, die ich dir gegeben habe. Du sollst zeigen, dass sie linear und bijektiv ist.

04.12.2008, 19:52

energyfull

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also eine abbildung ist linear wenn:

$\begin{eqnarray*} a f(x) = f(ax) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x+y) = f(x) + f(y) \end{eqnarray*}$

ich habe das versucht so zu machen, aber das ergebnis ist leider nicht richtig wie ich merke, aber anders kann ich das nicht beweisen traurig

traurig

04.12.2008, 20:02

WebFritzi

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Das ist schade. Du musst hier lediglich einsetzen. Wenn dir das zu hoch ist, bin ich nicht imstande weiterzuhelfen.

04.12.2008, 20:05

energyfull

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ich weiss das ich nur einsetzen muss nur ich weiss dann nicht genau was ch da einsetzen soll: für a,x,y, das ist ja das problem bei mir, kannst du mir das erklären

04.12.2008, 20:09

WebFritzi

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Wie heißt hier die Abbildung, die linear sein soll?

04.12.2008, 20:24

energyfull

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$\begin{eqnarray*} \phi ((a_n):= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

04.12.2008, 20:36

WebFritzi

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Jupps. Und nun nimmst du dir zwei Fibo-Folgen (an) und (bn) und zeigst, dass Phi((an) + (bn)) = Phi((an)) + Phi((bn)) gilt.

04.12.2008, 21:00

energyfull

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also $\begin{eqnarray*} a_n=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und wenn wir
$\begin{eqnarray*} b_n=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wählen, dann sieht das ganze so aus:

zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} \phi ((a_n) + (b_n))= \phi (a_n) + \phi (b_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi (\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \phi \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \phi \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und das ist das selbe wie $\begin{eqnarray*} \phi (a_n) + \phi b_n \end{eqnarray*}$

04.12.2008, 21:09

WebFritzi

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Nein, nein, nein. Das ist von vorne bis hinten Unsinn. Alleine schon der Anfang. (an) und (bn) sollten Fibo-Folgen sein. Du nimmst aber Vektoren aus dem IR². Das passt doch hinten und vorne nicht. Halte dich daran, was die Objekte sein sollen. Fang so an: "Es seien (an) und (bn) Fibonacci-Folgen."

Außerdem muss ich jetzt los...

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