Bilder von Vektoren

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elomaniak Auf diesen Beitrag antworten »
Bilder von Vektoren
Hi Leute
hab eine Aufgabe gestellt bekommen, bei der ich nicht weiter weis

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Es seien die Vektoren
v1: ( 1 2 3 ) v2: ( 1 -3 -2 ) v3: ( 0 2 1 )
eine Basis des R3 und
w1: ( 2 3 ) w2: ( -1 4 )
eine Basis des R2. Die lineare Abbildung T : R3-->R2 sei bzgl. dieser Basen definiert durch die Matrix
( 4 -3 2 )
T = (-1 0 1 )

Berechnen Sie die Bilder der Vektoren (in der Koordinatendarstellung bzgl. der Standardbasis)

x1: ( 3 -6 2 ) x2: ( 3 5 6 ) x3: ( 3 -17 -10 )


Kann mir jemand von euch helfen?
Bin bei der Aufgabe völlig ratlos

Danke im Vorraus
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Step one
Vielleicht erstmal einen Blick hierein werfen. [Artikel] Basiswechsel
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilder von Vektoren
Die Abbildungsmatrix T ist wohl:

Du mußt die Koordinatenvektoren von x1 etc. bzgl. der gegebenen Basis bestimmen. Diese dann mit T multiplizieren. Das ergibt jeweils die Koordinatenvektoren in der gegebenen Basis des R². Daraus bestimmst du dann den Ergebnisvektor.
elomaniak Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tip
@ klarsoweit
könntest du mir genauer erklären wie ich den koordinatenvektor bestimme??

hab mir den Beitrag von Tigerbine durchgelesen.

müsste ich dann das kreuzprodukt der vektoren x1*v1 x2*v2 und x3*v3 bilden?

Danke im Vorraus
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt x1 als Linearkombination von v1, v2 und v3 darstellen. Das heißt, du brauchst Linearfaktoren lambda_1, lambda_2 und lambda_3 mit:


Den Vektor (lambda_1, lambda_2, lambda_3) nennt man Koordinatenvektor.

Für diesen muß also gelten:



Da du das auch für x2 und x3 brauchst, empfiehlt es sich, die Matrix zu invertieren.
elomaniak Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich für x1 den vektor einsetze muss ich dann lambda1 bis 3 bestimmen?

wie meinst du das mit matrix invertieren?

Mfg
elomaniak
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von elomaniak
also wenn ich für x1 den vektor einsetze muss ich dann lambda1 bis 3 bestimmen?

Ja. Und das dann auch für die anderen beiden Vektoren.

Zitat:
Original von elomaniak
wie meinst du das mit matrix invertieren?

Ich hätte erwartet, daß das Thema "inverse Matrix" vor dem Thema "Basiswechsel" drankommt.
elomaniak Auf diesen Beitrag antworten »

Danke klarsoweit
bin jetzt so weit klar gekommen

doch wenn ich jetzt lambda rausfinden will hab ich ein problem

Lambda = 1/Matrix * x1
Die Matrix sah dann wie folgt aus


also einfach die Umkehrfunktion der Matrix genommen
kam aber nicht das richtige ergebnis raus


welchen weg könntest du mir empfehlen??

Danke im Vorraus
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Proberechnen
code:
1:
2:
3:
4:
5:
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20:
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25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:
45:
46:
47:
48:
Basiswechsel
 
Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 3
Dimension von W: m= 2
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,2,3]
Vektor 2: [1,-3,-2]
Vektor 3: [0,2,1]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [2,3]
Vektor 2: [-1,4]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2? 2
 
M = [4,-3,2;-1,0,1]
 
Bild von Vektor x1 berechnen 
x= [3;-6;2]
y =
    6.0000
  -32.8000
Weiteres Bild berechnen? (0 - ja, 1- nein) 0
x= [3;5;6]
y =
   18.0000
   27.0000
Weiteres Bild berechnen? (0 - ja, 1- nein) 0
x= [3;-17;10]
y =
   30.0000
 -131.0000
Weiteres Bild berechnen? (0 - ja, 1- nein) 1


code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
 Matrizen

S =
     1     1     0
     2    -3     2
     3    -2     1

 
S^(-1)=
    0.2000   -0.2000    0.4000
    0.8000    0.2000   -0.4000
    1.0000    1.0000   -1.0000

T =
     2    -1
     3     4
elomaniak Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Tigerbine

jedoch verstehe ich die Vorgehensweise nicht so ganz
du hast bei
Bild von Vektor x1 berechnen
vektor 1 angegeben und dann ein ergebnis für y
wie hast du es denn berechnet?

Danke im Vorraus
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das Diagramm am Anfang und die angegebenen Matrizen sollten diese Frage beantworten.
Wintersun Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Warum ...

Zitat:
Original von klarsoweit
Für diesen muß also gelten:



und nicht



??
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Weil eben ist. Und diese Linearkombination soll den Vektor x_1 ergeben.
weihnachtsmann.92 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilder von Vektoren
Was genau ist mit "Daraus bestimmst du dann den Ergebnisvektor" gemeint? Ich habe alle vorherigen Schritte gemacht aber komme jetzt nicht weiter.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilder von Vektoren
Mit "Ergebnisvektor" ist der Bildvektor T(x_1) gemeint. Wenn man die Matrix T mit dem Koordinatenvektor von x_1 bezüglich der Basis (v1, v2, v3) multipliziert, erhält man "nur" den Koordinatenvektor des Bildvektors T(x_1) bezüglich der Basis (w1, w2). De eigentliche Bildvektor T(x_1) ist dann eine Linearkombination aus den Vektoren w1 und w2.
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