Radon-Nikodym

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Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »
Radon-Nikodym
Guten Abend,

wir haben jetzt neue Aufgaben zu dem Satz von Radon-Nikodym bekommen und möchte diese sehr gerne hier diskutieren:

1) Sei und bezeichne die Poissonverteilung zum Parameter . Begründen Sie für alle dass absolut stetig bzgl. ist und geben Sie die Dichte an.

Meine Idee: Mir ist klar was absolut stetig heißt, man muss zeigen, dass für alle aus folgt. Aber wie kann man das hier konkret anwenden und vorallem wie kann man die Dichte bestimmen? Im Skript haben wir die Radon-Nikodym Dichte nur für Integrale definiert, allerdings ist die Poissonverteilung ja eine diskrete Verteilung. Muss ich dann hier mit Summen hantieren?

2)Es sei ein messbarer Raum. und ein Maß auf . Ein weiteres Maß sei definiert durch:
Zeige, dass bzgl. absolut stetig ist und bestimme die Radon-Nikodym Dichte.

Meine Idee: Hier gebe ich mir ein vor für das gilt . Daraus soll nun gefolgert werden, dass auch gilt. Hier brauche ich eine Fallunterscheidung nicht wahr? Es kommt doch entscheidend darauf an, wie mein ausschaut, aber über weiß ich leider nicht.

Hoffe auf euere Meinungen. Gruß Fletcher
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radon-Nikodym
Zu 1)

Diskrete Maße mit derselben Trägermenge sind absolut stetig zueinander - das folgt leicht aus der Definition der Absolutstetigkeit.

Die zugehörige Dichte ergibt sich dann als Quotient der jeweiligen Einzelwahrscheinlichkeiten.


Zu 2)

Warum so kompliziert? Es ist und daher

,

das war's schon. Ach ja, die Dichte noch: Das ist eine einfache Indikatorfunktion - von welcher Menge wohl? Augenzwinkern
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2) Die Dichte ist eine Indikatorfunktion von der Menge

zu 1) Ich erhalte dann als Dichte:
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
zu 1) Ich erhalte dann als Dichte:

Richtig - wäre aber besser, wenn du das nicht so in der Luft hängen lassen würdest. Also:



Zitat:
Original von Fletcher
zu 2) Die Dichte ist eine Indikatorfunktion von der Menge

als Element der Sigmaalgebra ist nur der Bezeichner des Funktionsargument des Maßes, was hat der hier zu suchen? Nein, der Dichtewert an sich kann nur von der vorgegeben Menge abhängen, sowie vom Argument .
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Okay die Aussage zu 1) ist klar, aber bei der 2) sehe ich noch nicht genau was du meinst. Das muss ich mir nochmal genau hinschreiben und auf dem Blatt überlegen. Habe da wohl etwas durcheinander gebracht. A ist doch die Menge worüber man intergriert.

Jetzt habe ich noch zwei weitere Beispiele und da dieses Thema noch sehr übersichtlich ist, schreibe ich sie hier rein. Ich hoffe das geht in Ordnung.

3) Seien endliche Maße auf und gelte . Zeige, dass für das endliche Maß ebenfalls gilt und berechne die Radon-Nikodym Ableitung.

Idee: Im Prinzip geht es ja darum wieder die obige Aussage für ein zu zeigen. Dabei nutzt man natürlich die absolute Stetigkeit von bzgl aus. Ich möchte konkret zeigen, dass gilt . Jetzt verwende ich die Definition, also:



An dieser Stelle bin ich mir nicht sicher wie ich weiter machen darf, wenn ich hier tatsächlich betrachten dürfte, ist die Aussage schon gezeigt. Allerdings habe ich an diesem Schritt Zweifel! Vielleicht geht es wieder mit einer Abschätzung kommt mir gerade noch in den Sinn?!

Bei der Radon-Nikdoym Dichte habe ich noch keine Idee.

4) Seien endliche Maße auf mit

i) Zeige die Kettenregel -fast überall

ii) Zeige, dass existiert und dass -fast überall gilt.

Hier fehle mir noch die Ideen, vorallem bei der Kettenregel finde ich keinen Ansatz.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
aber bei der 2) sehe ich noch nicht genau was du meinst.

Für die Dichte mit muss ja gelten



für alle aus der Sigmaalgebra. Andererseits ist gemäß Definition von

.

Wenn du jetzt noch beachtest, sollte es nicht mehr schwerfallen, eine passende Dichte zu finden.

Zitat:
Original von Fletcher


An dieser Stelle bin ich mir nicht sicher wie ich weiter machen darf, wenn ich hier tatsächlich betrachten dürfte,

Das ist ein Term - was willst du da betrachten?

Zitat:
Original von Fletcher
Bei der Radon-Nikdoym Dichte habe ich noch keine Idee.

Schreib doch einfach mal die Integrale über die Maße auf, dann kannst du die Linerarität



doch nutzen. Oder musst du alles neu erfinden?
 
 
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent

Wenn du jetzt noch beachtest, sollte es nicht mehr schwerfallen, eine passende Dichte zu finden.


Nein damit ist es wirklich keine Kunst mehr. Man wähle dann einfach

Zitat:
Original von Arthur Dent

Das ist ein Term - was willst du da betrachten?

Meine Frage hierzu sollte eher lauten:
Gilt: ? Das ist mir nämlich nicht ganz klar, wie ich sonst weitermachen kann. Die andere Möglichkeit wäre eine Abschätzung.

Zitat:
Original von Arthur Dent

Schreib doch einfach mal die Integrale über die Maße auf, dann kannst du die Linerarität



doch nutzen. Oder musst du alles neu erfinden?


Nein das Integral haben wir schon eingeführt und dürfen es auch benutzen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
Meine Frage hierzu sollte eher lauten:
Gilt: ? Das ist mir nämlich nicht ganz klar, wie ich sonst weitermachen kann.

So ist die Summe der beiden Maße ja definiert, also kannst du es auch nutzen.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

naja wenn das funktioniert, dann weiß ich ja, dass wegen der absoluten Stetigkeit gilt und daraus folgt dann die absolute Stetigkeit von bzgl. .

Hast du vielleicht eine Idee zur Kettenregel Aufgabe 4)?
Das kommt mir etwas schleierhaft vor.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Was du dafür im Prinzip zunächst nachweisen solltest ist, dass



für alle messbaren nichtnegativen Funktionen gilt. Dabei bezeichne ich wie bisher als Dichte des Maßes bzgl. .


Das ist so ein Nachweis, wie er in seiner Tippeltappeltour immer wieder in der Maßtheorie vorkommt: Erst für Indikatorfunktionen , dann über die Linerarität sofort für einfache (oder anders ausgedrückt Treppen-)Funktionen, und schließlich über Supremum einfacher Funktionen zu beliebigen nichtnegativen messbaren Funktionen.


Mit (*) ist dann der Nachweis deiner Kettenregel lediglich eine Folgerung.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für den Hinweis. Diese Formel habe ich bereits im Klenke gefunden.

Hätte aber nicht gedacht, dass sie bei dieser Fragestellung Anwendung finden könnte.

Wozu brauche das in der W-Theorie? Ich mein vorallem den Satz von Radon-Nikodym? Mittlerweile haben wir die bedingte Erwartung einer Zufallsvariable damit bewiesen, aber sonst?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
Wozu brauche das in der W-Theorie? Ich mein vorallem den Satz von Radon-Nikodym?

Z.B. immer dann, wenn du mit Dichten stetiger Zufallsgrößen hantierst. Augenzwinkern
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Arthur,

als Dichte bei der Aufgabe 3) erhalte ich nun:

, wobei eben die Dichten der Maße bzgl. beschreiben.


Bei der Aufgabe 4) erhalte ich zum einen und zum anderen mit der von dir erwähnten Formel:

Aus beidem folgt dann schon die Gleihheit und das gilt:

Stimmst du den beiden Lsg. zu?


Wie weise ich nach, dass ein existiert? Vorallem das Gebilde im Nenner kann ich mir nicht erklären.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
Aus beidem folgt dann schon die Gleihheit und das gilt:

nur -fast sicher, über den Teil hast du dir hoffentlich auch schon Gedanken gemacht. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Fletcher
Vor allem das Gebilde im Nenner kann ich mir nicht erklären.

ist die Summe beider Maße - hatten wir das nicht schon mal, was die Summe zweier Maße ist? Oben war es .

Und zur Existenz dieser Dichte? Hast du den Satz von Radon-Nikodym schon wieder vergessen? Was ist nötig, damit diese Dichte existiert - nun nichts weiter als

.

Und der Nachweis dessen ist geradezu trivial.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Naja also fast sicher, bedeutet doch nur, dass sich das ganze maximal auf einer -Nullmenge unterscheiden darf oder? Mir kommt das vorallem von dem Lebesgue-Maß her bekannt vor.

Das von oben habe ich nicht vergessen, aber manchmal werfe ich die Notationen noch durcheinander. Gerade während dem Semester lernt man so viel in so kurzer Zeit und Zeit das ganze etwas sacken zu lassen hat man kaum. Das nächste Übungsblatt zu Bedingten Erwartungen liegt auch schon hier Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
Naja also fast sicher, bedeutet doch nur, dass sich das ganze maximal auf einer -Nullmenge unterscheiden darf oder? Mir kommt das vorallem von dem Lebesgue-Maß her bekannt vor.

Ich wollte damit nur andeuten, dass man aus



für alle aus der Sigma-Algebra NICHT auf schließen darf, sondern nur auf

-fast sicher.

Da es Bestandteil der Aufgabe war, wollte ich nur nochmal drauf aufmerksam machen. Inwieweit ihr sowas schon bewiesen habt oder ob du es noch beweisen solltest, musst du entscheiden.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

In dem ganzen Kapitel über Integration ist immer die Rede von "fast überall" gewesen. -fast sicher heißt doch nur, dass die beiden Dichten sich maximal auf einer Nullmenge unterscheiden. Und diese Nullmengen haben das Maß 0. Deshalb spricht man doch von "fast sicher". Mengen mit Maß Null interessieren ja mehr oder minder nicht. Allerdings ist mir nicht ganz klar, wie man so etwas beweisen könnte.
Frank3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radon-Nikodym
Hi,
ich hab mal ne Frage zur Aufgabe 2 (Siehe Posting Nummer 1).
Warum reicht es zu zeigen, dass aus gefolgert werden muss: ?
Ich meine, ist im Allgemeinen nicht absolut stetig bzgl. , wenn erfüllt ist. Das ist doch keine "genau-dann-wenn"-Aussage. Nur die andere Richtung gilt: Ist absolut stetig bzgl. , dann gilt : . Ich stell die Frage, weil ich momentan die selbe Übungsaufgabe zu arbeiten habe.
Also: Ist Fletcher in die Logik-Falle getreten oder nicht?
Ciao,
Frank
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Für mich ist

Zitat:
Original von Frank3
wenn erfüllt ist.

und

Zitat:
Original von Frank3
dann gilt : .

dieselbe Aussage. Kann es sein, dass DU es bist, der in der Logikfalle steckt? Augenzwinkern
Frank3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
ich hab mich schon korrekt ausgedrückt, es ist leider nur ein wenig unübersichtlich :-D
Daher nochmal :

Wir haben bewiesen in der Vorlesung:



Dies ist jedoch keine logisch äquivalente Aussage, d.h. es gilt nicht:

AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frank3
Dies ist jedoch keine logisch äquivalente Aussage, d.h. es gilt nicht:


So? So wie ich es kenne, ist es das doch. Dabei gehe ich natürlich davon aus, dass du mit die zugrunde liegende Sigmaalgebra meinst.

Nenn doch mal deine Definition von Absolutstetigkeit, sowie außerdem noch eine Gegenbeispiel für die og, Äquivalent, dann kann ich vielleicht noch was lernen.
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