Bild und Kern einer linearen Abbildung bestimmen

03.12.2008, 20:46

sebumundo

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Bild und Kern einer linearen Abbildung bestimmen

Hallo,

bei folgender Aufgabe fällt mir die Umsetzung sehr schwer

$\begin{eqnarray*} \text{Betrachten Sie die Abbildung } \mathbb R^{4}\rightarrow \mathbb R^{3} \text{ , gegeben durch } f(a, b, c, d) \rightarrow (2a - b, 4a -2d, c + d) \text{Bestimmen Sie den Kern und das Bild von f .} \end{eqnarray*}$

Dass die Abbildung linear unabhängig ist, habe ich überprüft. Daraus folgt, dass der Kern die Menge

{ $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in\mathbb R^{4} | f(a,b,c,d)=0 \end{eqnarray*}$ }

ist.

Um den Kern auszurechnen, habe ich versucht, eine darstellende Matrix aufzustellen. Als blutiger Anfänger bin ich wohl daran gescheitert. Meine darstellende Matrix sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2a-b \\4a -2d \\ c +d \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Frage: habe ich das soweit richtig gemacht? Und wenn ja, wie bestimme ich jetzt den Kern? Die rechte Seite der Gleichung =0 setzen und einfach ausrechnen?

03.12.2008, 20:55

tigerbine

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Was ist denn eine linear unabhängige Abbildung? verwirrt

verwirrt

Lies dir bitte nochmal das Kapitel Matrizenmultiplikation in deinem Skript durch.

03.12.2008, 21:09

sebumundo

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sorry, ich meinte natürlich lineare Abbildung!

03.12.2008, 21:15

tigerbine

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Bitte zwei bleibt.

03.12.2008, 21:27

sebumundo

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hallo tigerbine,

danke für deine schnelle Antwort. Ich versuche gerade, aus meinem LA Skript schlau zu werden.

Also meine Argumente im R^4 sind Spaltenvektoren multipliziert mit der kanonischen Basis. Meine Funktionswerte im R^3 sind die Argumente aus R^4 abgebildet durch die Funktionsvorschrift. Ist das richtig so?

03.12.2008, 21:32

tigerbine

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Nein. Das ist so nicht richtig. Wir haben 2 Vektorräume V und W und die haben (unendlich viele) Basen. Wir wissen nun gar nicht welche da gemeint ist, kennen wir doch nur die Koordianten der Vektoren bzgl. der unbekannten Basen. Stillschweigend wird die Standardeinheitsbasis genommen, wenn nichts angegeben ist.

Die Matrix sagt uns, Koordinaten B1 aus V rein ----- Koordinaten B2 aus W raus.

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03.12.2008, 21:39

sebumundo

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danke für deine hilfe... . ich zieh mir erst mal ein kapitel über matrizen im lehrbuch rein. dann komme ich wieder ;-). grüße.

03.12.2008, 21:39

tigerbine

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Besser ist das. Nimms mir nicht krumm. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.12.2008, 22:20

sebumundo

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ich bin schon zurück: kurze Verständnigsfrage:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} = A * \begin{pmatrix} 2a -b \\ 4a - 2d \\ c + d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

A wäre hier meine Darstellende Matrix, oder?

03.12.2008, 22:25

tigerbine

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Nein. Ich schreib das nun mal.

$\begin{eqnarray*} &&\text{Betrachten Sie die Abbildung } \mathbb R^{4}\rightarrow \mathbb R^{3} \text{ , gegeben durch: } \\ \\ && f(a, b, c, d) \rightarrow (2a - b, 4a -2d, c + d)\\ \\&&\text{Bestimmen Sie den Kern und das Bild von f .} \end{eqnarray*}$

Die Abbildung sieht dann so aus. Melde dich, wenn du das nachvollziehen kannst.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 4&0&0 & -2 \\ 0& 0& 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2a-b\\ 4a-2d \\ c+d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.12.2008, 23:00

sebumundo

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Hallo tigerbine,

danke für deine Geduld. wir hatten das erst gestern kurz in der Vorlesung, (kurz & theoretisch), weshalb ich mich noch etwas blöd anstelle.

Ich habe für die Darstellende Matrix jetzt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die vierte Dimension wird nicht abgebildet, weswegen ich die 0-Zeile weglassen kann. Dann sieht meine Matrix so aus wie deine.

Wäre der Kern dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -c*(1/2) \\ -c \\ -d \\ d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

03.12.2008, 23:10

tigerbine

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Nein, ich habe die darstellende Matrix doch schon hingeschrieben. Sie muss doch eine 3x4 Matrix sein.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 4&0 & 0 &-2 \\ 0& 0& 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2a-b\\ 4a-2d \\ c+d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier solltest du nur einmal Matrix *Vektor rechnen und dann Idee!

Idee!

zu verstehen, wie ich mit der rechten Seite Av=u auf die Matrix A gekommen bin.

Will man den Kern bestimmen, so muss man das homogene LGS lösen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 4&0 &0& -2 \\ 0& 0& 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.12.2008, 23:17

sebumundo

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Also wäre der Kern

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2a - b \\ 4a - 2d \\ c +d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

03.12.2008, 23:19

tigerbine

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Nein, was sollen denn a,b,c,d sein. Die sind doch nicht alle frei wählbar. Wie löst man denn ein LGS?

03.12.2008, 23:21

sebumundo

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sorry, ich muss das ja noch gleich 0 setzen und lösen. bin schon ziehmlich fertig. ich mache morgen weiter. vielen dank für deine hilfe! ihr seid echt super!

03.12.2008, 23:28

sebumundo

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mit einem Bein schon im Bett:

der Kern müsste $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2b \\ 4a-2d\\ 2c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

richtig?

03.12.2008, 23:33

tigerbine

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Dann mal gute Nacht. Mir nur Vektoren um die Ohren zu knallen bringt uns keinen Schritt weiter. Ich kann es berechnen und bin daran interessiert, dass du mir den Weg nennst, nicht das Ergebnis. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bis morgen (abend) Sonst übernimmt sicherlich ein Kollege im laufe des Tages. Wink

Wink

03.12.2008, 23:35

sebumundo

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achso. entschuldige. bin noch neu hier. werde in zukunft die rechenwege mitposten. mir fallen jetzt schon die augen zu. vielen dank so weit!

05.08.2009, 19:50

philipsg

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@ besserwisser tigerbine
man du oberschlauer neunmalklug, besserwisser und klugschei*er. und sebumundo bedankt sich auch noch bei dir. anstatt immer neue blöde noch mehr verwirrende fragen zu stellen könntest du besser einen kleinen tip geben, der ihr weiterhilft. naja, typisch halt, bloß nichts von dem abgeben, was man sich angeeignet hat.

05.08.2009, 20:17

WebFritzi

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Da meckert wohl einer, der gerade durch die Klausur gerasselt ist. Big Laugh

Big Laugh

08.02.2011, 19:44

instinkt

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Schade, dass das Ganze nicht wenigstens gelöst wurde ;-)

Ist folgendes richtig:
$\begin{eqnarray*} kern(f) = <\begin{pmatrix} -1/2 \\ -1/4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$
oder eben...
$\begin{eqnarray*} kern(f) = <\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$

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