Nullmatrix

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04.12.2008, 14:58	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullmatrix habe wieder eine frage zur nullmatrix, sei K ein Körper und $\begin{eqnarray} A\in Mat (n,K) \end{eqnarray}$ eine n x n -Matrix. ich soll jetzt beweisen, dass es ein $\begin{eqnarray} m\leq n² \end{eqnarray}$ und Skalare $\begin{eqnarray} \lambda_0,...,\lambda_{m-1} \in K \end{eqnarray}$ gibt, so das: $\begin{eqnarray} A^{m}+ \lambda_{m-1}A^{m-1}+ ... +\lambda_1 A +\lambda_0 E \end{eqnarray}$ die Nullmatrix ist. Also $\begin{eqnarray} A^{m} \end{eqnarray}$ ist das m-fache Matrizenprodukt und E ist die Einheitsmatrix.
04.12.2008, 16:18	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn $\begin{eqnarray} Mat(n,K) \end{eqnarray}$ für ein algebraisches Objekt und welche Dimension hat es?
04.12.2008, 16:50	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
meinen sie jetzt allgemeine lineare gruppe vom Grad n über den Körper K aller# nxn-Matrizen, aber die dimension habe ich nicht so verstehen
04.12.2008, 18:26	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Auf der Menge aller Matrizen gibt es eine Addition und eine Skalarmultiplikation und mit diesen Verknüpfungen ist es ein Vektorraum. Der hat welche Dimension? Hier im Board ist es übrigens total unüblich, einander zu siezen. Pack also ruhig das "du" aus. ; )
04.12.2008, 18:35	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aussage gilt sogar für m = n.
04.12.2008, 19:47	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
die dimension ist die Anzahl der Spalten und Zeilen
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04.12.2008, 20:00	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr präzise ausgedrückt...
04.12.2008, 20:08	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, also: meinst du den Rang einer Matrix. Der Rang einer Matrix ist die Dimension des Spaltenraums (oder Zeilenraums).
04.12.2008, 20:10	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Lies dir doch die Frage mal richtig durch, die dir gestellt wurde. Es geht hier nicht um EINE Matrix, sondern um einen Vektorraum, bestehend aus Matrizen. Davon sollst du die Dimension bestimmen.
04.12.2008, 21:06	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
bin total durcheinander, in meiner aufgabenstellung steht nullmatrix und nicht dimension ???
04.12.2008, 21:12	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Na und? Was willst du uns damit sagen? Darf man denn nicht fragen, wie groß die Dimension des Vektorraums der nxn-Matrizen ist? Das spielt in deiner Aufgabe eine Rolle. Die Gleichheit, die du angegeben hast, sollte dich an lineare Unabhängigkeit erinnern. Und lineare Unabhängigkeit hat auch immer mit Dimension zu tun. So, und nun versuche bitte, die Frage zu beantworten.
06.12.2008, 11:33	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
die dimension eines vektorraums ist gleich der anzahl der basisvektoren des vektorraums. habe hier noch die dimensionsformel: $\begin{eqnarray} dim (V_1+V_2)= dim V_1 + dim V_2 - dim (V_1 \cap V_2) \end{eqnarray}$
06.12.2008, 21:03	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie groß ist nun die Dimension des Vektorraums aller $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ -Matrizen?
06.12.2008, 22:36	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
die dimension ist doch einfach nxn oder nicht??
06.12.2008, 22:58	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bedeutet das Kreuz dabei?
06.12.2008, 23:27	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
ist das nicht einfach eine verknüpfung, oder ne schreibweise?? n kreuz n matrix., das n steht für Zeile und n für Spalte
07.12.2008, 00:48	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Dimension ist eine ZAHL. Also, wie groß ist die Dimension des Raumes der Matrizen mit n Spalten und n Zeilen?
07.12.2008, 02:06	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
2 ???
07.12.2008, 02:30	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum rätst du einfach so drauf los? Du solltest vielleicht nochmal ein bisschen Vektorräume wiederholen oder dir überlegen, zu welchem dir bekannten Vektorraum der Vektorraum aller $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ -Matrizen isomorph ist.
07.12.2008, 13:01	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
habe mir mal alles angeschaut, konkrete zahlen finde ich nicht bzgl. der dimension, die dimension ist n, bijektive, lineare abbildungen heissen isomorphismen
07.12.2008, 13:12	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Dimension ist $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Was du mit den Isomorphismen willst, weiß ich auch nicht. Du sollst nicht irgendwelche Begriffe in den Raum schmeißen, sondern versuchen zu verstehen. Also der Vektorraum der $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ -Matrizen hat die Dimension $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} E,A,A^2,\ldots,A^{n^2} \end{eqnarray}$ sind wie viele Matrizen, d.h. Elemente in diesem Vektorraum? Was folgt daraus?
07.12.2008, 13:22	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
4 Elemente, also ist die dimension 4
07.12.2008, 13:34	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum vier?
07.12.2008, 13:39	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
E,A,A²,.., $\begin{eqnarray} A^{n^2} \end{eqnarray}$
07.12.2008, 13:40	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weißt aber schon, was die Punkte dazwischen bedeuten?
07.12.2008, 13:45	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist doch sowas wie endliche form ... ist doch das was da zwischen liegt
07.12.2008, 14:19	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Eben. Insofern sind es natürlich nicht nur vier Matrizen, sondern wie viele?
07.12.2008, 14:27	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
unendliche viele oder nicht, eine anzahl kann man ja nicht angeben
07.12.2008, 17:24	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kann ich denn jetzt die aufgabe lösen
07.12.2008, 17:43	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich kann man eine Anzahl angeben. Ich gebe zwei Beispiele und du sagst mir dann, wie viele es im Allgemeinen sind. 1. $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ . Dann meine ich mit $\begin{eqnarray} E,A,A^2,\ldots,A^{n^2} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} E,A,A^2,\ldots,A^4 \end{eqnarray}$ . In diesem Fall stehen die Pünktchen nur für eine einzige Matrix und ausgeschrieben bedeutet das $\begin{eqnarray} E,A,A^2,A^3,A^4 \end{eqnarray}$ . Das sind wie viele? 2. $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ . Dann meine ich mit $\begin{eqnarray} E,A,A^2,\ldots,A^{n^2} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} E,A,A^2,\ldots,A^9 \end{eqnarray}$ , d.h. ohne Pünktchen: $\begin{eqnarray} E,A,A^2,A^3,A^4,A^5,A^6,A^7,A^8,A^9 \end{eqnarray}$ . Das sind wie viele? Wie viele sind es nun im Allgemeinen?
07.12.2008, 18:10	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
also für n=2, sind es 5 und für n=3 sind es 10 gesamt 15
07.12.2008, 20:38	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte nicht wissen, wie viele es insgesamt sind, sondern wie viele Matrizen in $\begin{eqnarray} E,A,A^2,\ldots,A^{n^2} \end{eqnarray}$ für allgemeines $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ stehen.
07.12.2008, 20:49	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
ich verstehe nicht ihre frage
07.12.2008, 20:55	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme nochmal meine beiden Beispiele von oben. 1. $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ . Da war $\begin{eqnarray} E,A,A^2,\ldots,A^{n^2} \end{eqnarray}$ gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray} E,A,A^2,A^3,A^{2^2} \end{eqnarray}$ . Das sind $\begin{eqnarray} 2^2+1 \end{eqnarray}$ viele Matrizen. 2. $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ . Hier bedeutet $\begin{eqnarray} E,A,A^2,\ldots,A^{n^2} \end{eqnarray}$ soviel wie $\begin{eqnarray} E,A,A^2,A^3,A^4,A^5,A^6,A^7,A^8,A^{3^2} \end{eqnarray}$ . Das sind $\begin{eqnarray} 3^2+1 \end{eqnarray}$ viele. Wie viele Matrizen sind dann $\begin{eqnarray} E,A,A^2,\ldots,A^{n^2} \end{eqnarray}$ ?
07.12.2008, 21:01	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
5, 10 und n-matrizen
07.12.2008, 21:08	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich gebe es auf. Es sind $\begin{eqnarray} n^2+1 \end{eqnarray}$ viele Matrizen. Tut mir leid, aber ohne ein wenig Mitdenken bzw. Grundwissen kann man an solche Aufgaben nicht herangehen. Falls jemand anderes helfen möchte, so tue er dies gerne. Ich verabschiede mich vorerst aus diesem Thread.
07.12.2008, 21:33	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
trotzdem danke für alles, kann mir ein anderer weiter helfen ??? das wäre echt lieb
07.12.2008, 21:35	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist nur noch 1 Argument von der Lösung entfernt Du hast jetzt also einen Vektorraum der Dimension n^2 und du hast n^2 + 1 Elemente in diesem Vektorraum. Können diese n^2+1 Elemente linear unabhängig sein? Wenn nein was muss dann gelten? PS: Ich hoffe sehr stark dass du nicht Mathe studierst.
07.12.2008, 21:44	energyfull	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn die nicht linear unabhängig sind, dann sind sie linear abhängig
07.12.2008, 21:47	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Lass dir doch nicht alles aus der Nase ziehen. Warum sind sie linear abhängig? Was bedeutet dann linear abhängig in diesem Fall? (konkret einmal aufschreiben!)

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