Lineare Abbildung: Kern und Bild bestimmen

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eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung: Kern und Bild bestimmen
Hallo!

Folgendes Beispiel:
"Es sei eine Basis des und die Abbildung mit sei linear.

Man bestimme ImF, KerF, dimImF und dimKerF."

Eigentlich alles kein Problem, nur hier ist die Abbildungsvorschrift nicht angegeben, sondern die muss man berechnen.

Die Bilder der Basisvektoren sind gegeben, aber die Basisvektoren nicht. Wie soll ich jetzt die Abbildungsvorschrift berechnen?

mfg
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind auch Basisvektoren gegeben, nämlich , und , allesamt Vektoren aus

Den Kern kannst Du dann natürlich nur mit Linearkombinationen dieser Basisvektoren darstellen.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!

Dh für den Kern:



Dann löse ich auf und komme auf



Dimension des Kerns ist 1.

Für das Bild komme ich auf


Die Dimension des Bildes ist 2.

Eine Frage: Kann ich das Bild hier auch so angeben wie den Kern (dh, ohne die "Span-Schreibweise")?

mfg
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Den Kern würde ich nicht so angeben, da es zu Verwechslungen mit der Standardbasis kommen kann.
Besser

Das Bild ist in Ordnung, kannst dann auch schreiben.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum kann es zur Verwechslung mit der Standardbasis kommen?

mfg
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Weil die Schreibweise (2,0,-1) normalerweise einen Vektor bezeichnet, der hier keine Lösung sein muss.
Wenn Du hier (2,0,-1) schreibst, meinst Du ja , was mit dem ersten Vektor gar nichts zu tun hat.

Man könnte sagen, dass man mit (x,y,z) ab jetzt immer die Schreibweise bezüglich der anderen Basis meint, also , aber das wäre irreführend und hier den Aufwand nicht wert. Normalerweise ist , wobei die Standardbasis sind.
 
 
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
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