LGS mit zwei Parametern

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Thaser Auf diesen Beitrag antworten »
LGS mit zwei Parametern
Hi, ich habe hier ne Aufgabe, die eigentlich gar nicht mal so schwer ist, aber mir fehlt die letzte Konsequenz.


Unzwar haben wir folgendes LGS:

x1 -2x2 + 3x3 + 4 = 0 ,
2x1 + x2 + x3 - 2 = 0 ,
x1 + ax2 + 2x3 + b = 0

ich habe das durch Gauß als Koeffizinentenmatrix umgeformt und erhalte das hier:



Zu zeigen ist, für welche Werte von a und b das LGS a) keine, b) unendliche viele, c) eine .. Lösung hat.

Ich habe gesagt: a+2 - 1 = 0
Daraus folgt: Für a = -1 ist das LGS nicht lösbar.

Für die beiden anderen Bedingungen habe ich keinen Ansatz. Und ist es für a) denn überhaupt so korrekt?

Vielen Dank. mfg thaser
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS mit zwei Parametern
Bring das System doch erst mal auf Dreiecksgestalt. Am besten ist es hier, erst mal die zweite und die dritte Spalte zu vertauschen, damit Du nichts mit (a+2) multiplizieren musst.
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Meist ist es auch sinnvoll, die Determinante aus der Koeffizientenmatrix zu berechnen und jene Fälle zu untersuchen, in denen sie Null oder ungleich Null ist.

mY+
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Bringt mich doch aber auch nicht weiter, wenn ich entscheiden muss, ob das System keine oder unendlich viele Lösungen hat. verwirrt
Dann ist der gute alte Straight-forward-Gauß sowieso erforderlich.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, das ist schon sinnvoll. Denn wenn die Determinante Null ist (a = -1), dann müssen nur noch die beiden Fälle für b unterschieden werden, in denen eine Nullzeile entsteht oder nicht. Im ersten Fall ist das System abhängig (b = -2) und es gibt unendlich viele Lösungen, ansonsten ist die Lösungsmenge leer.

mY+
Thaser Auf diesen Beitrag antworten »

wie soll ich das ding denn auf Dreiecksform bringen? Beim Versuch bleibt der Paramter a immer noch drin..
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Es macht den Eindruck, daß du die Beiträge von mYthos nicht gelesen hast. Also wenn du das Determinanten-Verfahren kennst und nutzen darfst, dann solltest du damit beginnen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt eben prinzipiell diese beiden Verfahren. Wobei zu bemerken ist, dass das Gauss-Verfahren auf jeden Fall beherrscht werden sollte, egal, ob da Parameter drinnen sind, oder nicht. Reksilat hat ja schon einen entsprechenden Vorschlag gemacht.

Nichtsdestoweniger ist das Gauß-Verfahren hier infolge der beiden Parameter über die Berechnung von x1, x2, x3 wesentlich rechenintensiver als die Determinantenmethode. Die Zeilenstufenform bekommt man allerdings noch leicht, danach müssen die Lösungen allgemein berechnet werden. Beachte, dass infolge des Vertauschens der Spalten auch die Variablenbezeichnungen mitgetauscht werden müssen!

Bei allen drei Werten x1, x2, x3 sind die Resultate Brüche, die alle den Nenner (a + 1) besitzen. Das sagt aber noch nicht, dass es für a = -1 keine Lösung gibt, denn dazu müssen auch erst die Zähler untersucht werden, ob diese bei a = -1 UND einem bestimmten b nicht auch alle Null werden können. Und diesen Fall gibt es! Wie würdest du diesen herausfinden?

Die Determinantenmethode führt hier in dieser Aufgabe zwar schneller und elegant zur Beantwortung der gestellten Fragen, aber falls auch die Variablen wertmäßig gesucht sind, hat wiederum das Gauß-Verfahren seine Vorteile. Alternativ dazu kann allerdings zur Ermittlung der Variablen auch die Cramer'sche Regel herangezogen werden.

Wie man sieht, führen viele Wege nach Rom ...

mY+
greg3d Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Thread liegt zwar schon paar Jahre zurück aber wollte mal die Lösung posten und schauen ob sie richitg wäre.Weil es ein bissien schade ist das es hier soviele Threads gibt die eröffnet wurde ohne eine Lösung. Ich finde eigentlich das ist die geilste Übung bestimmte Threats durchzurechnen. Ist fast besser als jedes Matheübungsbuch smile

Also lange Rede gar kein sinn:
Hab die Matrix in Dreiecksgestallt gebrach:


Und erhalt für -eine Lösung: a=-1 & b
- KEINE LÖSUNG-->
- UNENDLICH VIELE LÖSUNGEN-->
- EINE LÖSUNG-->

Würde mich freuen auf eine Antwort
riesen dank schon mal an Euch

mfg
greg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Einige Jahre sind allerdings seit dem 5. 12. 2008(!) nicht vergangen. Und deine Lösung stimmt nicht. Du kannst ja die Probe machen, indem du die bestimmten Werte in das System einsetzt.

Ausserdem: Im Falle EINER Lösung: Es genügt bereits , für b muss keine Zahl ausgeschlossen werden.

mY+
greg3d Auf diesen Beitrag antworten »

Oh da hab ich mich wohl verschaut hab auf "dabei seit" geschaut, sorry.

Ok da muss mir wohl ein Fehler passiert sein beim erstelllen der Dreiecksmatrix.

Aber was ich nicht verstehe wieso muss für eine Lösung bei b kein Lösung ausgeschlossen werden? weil wenn b = 4 wäre, ist der Rg(A) ungleich Rg(B)?
Was beachte ich nicht?
Danke mYthos

mfg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Also, richtig wäre, dass eine Nullzeile bei a = -1 und b = 2 (nicht 3) entsteht.
Im Falle EINER Lösung (bei ) muss man nun nicht b = 2 ausschließen, denn auch für b = 2 existiert diese. Du kannst das - wiederum mit der Probe - ausprobieren. Der Rang sowohl der Koeffizientenmatrix wie auch der erweiterten Matrix ist dabei 3. Was bei b = 4 anders sein soll ist, weiss ich nicht.

Hinweis: Der Rang ergibt sich aus der höchsten Ordnung von Null verschiedener Unterdeterminanten.

mY+
greg3d Auf diesen Beitrag antworten »

schitt und das war auch genau mein Fehler in der Klausur weil ich b nicht als beliebig angegeben habe. Aber warum?
Zum Bsp steht bei Wikipedia:
Zitat:
Dabei ist das lineare Gleichungssystem genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Entspricht der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix auch noch der Anzahl der Unbekannten, so besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung.


Aber wenn ich b jetzt als beliebig definiere, und es kommt bei der Erweiterten Matrix 0 raus. Dann entspricht es doch nicht mehr Rg(A)= Rg(B) oder?

wie soll ich die probe machen wenn ich 2 einsetze, kommt bei mir Null raus?

mfg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn zufällig eine der drei Variablen Null wird, heisst das noch nicht, dass der Rang der erweiterten Matrix dann schon kleiner als 3 ist. Es stimmt, dass bei b = 2 die Variable y immer Null wird, aber in diesem Beispiel nicht die anderen.
Es gibt immer noch Unterdeterminanten der erweiterten Matrix, deren Rang 3 ist (z.B. die Koeffizientenmatrix selbst), welche also 3 linear unabhängige Zeilen haben. Somit ist auch der Rang der erweiterten Matrix 3.

Es könnten theoretisch sogar alle drei Variablen zu Null werden, dies tut der eindeutigen Lösbarkeit nach wie vor keinen Abbruch, solange die Koeffizientendeterminante nicht ebenfalls zu Null wird.

Die Lösung bei b = 2 für lautet:






-------------------------------------------------------



Es ist in allen Termen durch (a + 1) [ungleich Null] zu kürzen! Deswegen ist die Lösung hier unabhängig von a, aber dennoch eindeutig.

mY+
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