Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.

05.12.2008, 14:32

Simon01

Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.

Guten Tag, allerseits!

Ich wollte fragen, wie ich an fogende, eigentlich relativ einfache Aufgabe gehe:

Es sei n Element N \ {0}, K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und F Element von End(V). Weiter bezeichne $\begin{eqnarray*} Eig(F, \lambda) \end{eqnarray*}$ Teilmenge von V für ein Lambda Element von K den Eigenraum zu Lambda von F - ist Lambda kein Eigenwert, so ist dieser Raum der 0-Untervektorraum {0v} Teilmenge von V. Zeige:

i) $\begin{eqnarray*} n - rang(F) = dimEig(F,0_K) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für die Hilfe!

PS: Wie schreibt man "Teilmenge von" in Latex?

05.12.2008, 15:19

Reksilat

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
Was ist denn der Eigenraum zum Eigenwert 0?
Wie ist der Rang definiert?

Teilmenge:
$\begin{eqnarray*} \subset\;\subseteq\;\supset\;\supseteq \end{eqnarray*}$
\subset \subseteq \supset \supseteq
siehe z.B. hier: klick

05.12.2008, 23:31

Simon01

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
Hallo!

wenn ein Eigenwert 0 existiert, so ist der dazugehörige Eigenraum gleich dem Kern, also 0.

ahaa...rang = dim (im) , nicht wahr? smile

simpel ausgedrückt ist der Rang einfach die Anzahl der Zeilenvektoren, die nicht 0 sind...

herzlichen dank!

05.12.2008, 23:46

Reksilat

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.

Zitat:

Original von Simon01
simpel ausgedrückt ist der Rang einfach die Anzahl der Zeilenvektoren, die nicht 0 sind

Nicht ganz so schnell bitte. Man kann die Matrix in eine Form transformieren, dass sie gerade n-Rang(F) viele Nullzeilen hat, aber allgemein können die Zeilen auch alle nicht null sein. Rang(F) ist die Dimension des Bildes oder anders ausgedrückt die Dimension des Erzeugnis der Spaltenvektoren.

Schönen Abend noch.

06.12.2008, 01:54

Simon01

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
Stimmt, ja...dann ist diese Formulierung wohl seeeehr simpel :P ausgedrückt =)

schön und gut, dass wir das nun wissen, aber zur Anfangsfrage: wie beweise (oder: zeige) ich, dass die Aussage n - rang(F) = dim Eig(F,0) ist?

Dir auch, schönen Abend und dankeschön!

06.12.2008, 10:20

Reksilat

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
Tschuldigung, ich dachte, dass das bereits klar ist.Es ist:
$\begin{eqnarray*} n={\rm dim}(V) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {\rm Rang}(F)={\rm dim}({\rm Im}(F)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {\rm dimEig}(F,0_K)={\rm dim}({\rm Ker}(F)) \end{eqnarray*}$

Jetzt verwendest Du den Homomophiesatz.

06.12.2008, 16:00

Simon01

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
Achso, na klar!
hab gar nicht an den homorphiesatz gedacht :-)
herzlichen dank!

zu diesem aufgabentyp hätte ich noch eine andere frage:

wenn ich wieder zeigen muss, dass folgendes gilt:

n - rang(F - (Lambda)*id_V) = dim Eig(F, Lambda)

kann ich das so machen:

dim(V) - ( dim(Im(F)) - (dim(Im((Lambda)id_V))) ) = dim(Ker(F))

?

06.12.2008, 17:18

Reksilat

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
Hast Du Dir vorher wenigstens überlegt, was $\begin{eqnarray*} {\rm dim}({\rm Im}(\lambda\cdot{\rm Id}_V)) \end{eqnarray*}$ ist?
Das ist nämlich Quatsch was Du da schreibst. Das geht genau wie oben.

06.12.2008, 17:30

Simon01

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
Achsoo...na klar, id_V ist ja die Einheitsmatrix..i'm sorry :-)

andere Frage:

wenn F diagonalisierbar ist, so gilt ja $\begin{eqnarray*} \sum_{\lambda\in K ein Eigenwert zu F}~ dimEig(F,\lambda) = n \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das exakt und schön zeigen?
Wenn F ja diagonalisierbar ist, so hat die Matrix nur auf ihrer Diagonalen Einträge nicht gleich 0, ansonsten nur Nullen. Dann ist es ja irgendwie trivial, dass die Summe der dimEig(F, Lambda) gleich der dim(V) ist, also n.

06.12.2008, 18:22

Reksilat

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
Die Dimension des Eigenraums ist unter Ähnlichkeitstransformationen invariant und Du kannst somit annehmen, dass F bereits Diagonalgestallt hat.

--------------------------------------------------------------------------------------

Noch ein Hinweis dazu:

$\begin{eqnarray*} \sum_{\lambda\in K\text{ ein Eigenwert zu }F}~ dimEig(F,\lambda) = n \end{eqnarray*}$

code:
1:	\sum_{\lambda\in K\text{ ein Eigenwert zu }F}~ dimEig(F,\lambda) = n

mit dem Befehl \text{} wird sowas übersichtlicher.

06.12.2008, 20:39

Simon01

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
okey, vielen Dank für die hinweise!

....aaaaber; es muss ein n', ein K', ein V' und ein F' Element End(V') so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{\lambda\in K\text{ ein Eigenwert zu }F}~ dimEig(F',\lambda') \neq n' \end{eqnarray*}$

06.12.2008, 20:43

Reksilat

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
Worauf willst Du hiaus? Klar gibt es solche Abbildungen, nur sind diese dann nicht mehr diagonalisierbar.

07.12.2008, 13:40

Simon01

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
hmm ja eben, das ist ein wenig verwirrend geschrieben.
Die Aufgabe lautet eben einfach so:
Es gibt ein n', ein K', ein V' und ein F' Element End(V'), so dass:
$\begin{eqnarray*} \sum_{\lambda'\in K'\text{ ein Eigenwert zu }F'}~ dimEig(F',\lambda') \neq n' \end{eqnarray*}$

Nun weiss ich nicht, also wenn es keine solche Abbildungen gibt, die diagonalisierbar sind, dann nehme ich an, muss sie nicht diagonalisierbar sein, oder? Sonst würde doch die Aufgabe wenig Sinn machen... =S

Und: Was wäre ein naheliegendes, offensichtliches Beispiel?

07.12.2008, 13:47

Reksilat

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.

Zitat:

Und: Was wäre ein naheliegendes, offensichtliches Beispiel?

Na eine nicht diagonalisierbare Abbildung. Wenn Du Kriterien zur Diagonalisierbarkeit kennst, wird es Dir auch nicht schwer fallen, eine Abbildung zu finden, die nicht diagonalisierbar ist.

Es gibt bereits in $\begin{eqnarray*} {\rm End}(\mathbb{R}^2) \end{eqnarray*}$ solche Abbildungen.

07.12.2008, 13:59

Simon01

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
oke, ich denke da an folgende Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sollte nicht diagonalisierbar sein.. smile

d.h also:
n' = 2
K' = K' (?)
V' = R^2
und F' = Element von End(V') (?)

07.12.2008, 14:29

Reksilat

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
Wenn Du V' als R² siehst, dann ist K' natürlich auch R, über welchem Körper willst Du R² sonst definieren? F' ist die Abbildung, welche bezüglich der Standardbasis die angegebene Matrix hat. Diagonalisierbar ist F nicht, das ist richtig, wenn man den Eigenraum zum einzigen Eigenwert 1 ausrechnet, sieht man, dass die Gleichung nicht erfüllt ist.

07.12.2008, 14:46

Simon01

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
okey, super!
herzlichen Dank!
hehe ja...ich habe gerade gesehen, dass die Matrix auch in C nicht diagonalisierbar wäre, aber ich bleibe trotzdem bei R..ist mir sympathischer :-)

andere Frage, ebenfalls zu diesem Aufgabentyp:
wie zeige oder widerlege ich, dass wenn zwei n x n - Matrizen M und M' ähnlich sind, dass dann auch (oder: nicht) gilt: M - Lambda*E_n und M' - Lambda*E_n sind äquivalent.

Was ähnliche Matrizen sind, weiss ich: sie haben dieselben Eigenwerte, woraus dann diverses folgt, wie zB gleicher Rang, gleiche Determinante, gleiche Spur usw.

kann man nur schon daraus nicht folgen, dass die Behauptung gilt?

07.12.2008, 14:54

Reksilat

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
Entweder weißt Du nicht wirklich was Ähnlichkeit bedeutet, oder Du hast selbst noch keine Anstrengungen unternommen. Das ist einfachstes Geradeausrechen. Hopp, hopp!

07.12.2008, 15:42

Simon01

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
jeppa, du hattest Recht.

Ich habe nun anhand der beiden ähnlichen Matrizen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gezeigt, dass die Behauptung NICHT stimmt.

Was ich also vorhin geschrieben habe ist vollständige Kacke smile

Nun habe ich noch eine Frage zu einer Aufgabe, bei der ich selbst nicht ganz weiss, was gesucht oder gefragt ist. Sie lautet:

Die Folge (rang(F^n)) (n Element N) ist eine monoton fallende Folge in den natürlichen Zahlen, die stationär wird. Dabei sei F^0 : = id_V und eine Folge (a_n) in den reellen Zahlen heisst stationär werdend, wenn es ein N Element natürlichen Zahlen gibt, so dass gilt: für alle n >= N: a_n = a_N

strang(F) : = lim rang(F^n)

heisst stabiler rang von F und

stexp(F) : = min{N E N: für alle n >= N: rang(F^n) = rang(F^N) }

der Rangstabilisierungsexponent von F.

07.12.2008, 16:13

Reksilat

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.

Zitat:

Original von Simon01
Ich habe nun anhand der beiden ähnlichen Matrizen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gezeigt, dass die Behauptung NICHT stimmt.

Das würde mich ja mal interessieren, wie Du das gemacht hast. verwirrt

Nein, die Matrizen $\begin{eqnarray*} X-\lambda E \end{eqnarray*}$ sind dann ebenfalls ähnlich. Seien A und B ähnlich sind, d.h. es gibt ein M mit $\begin{eqnarray*} M^{-1}AM=B \end{eqnarray*}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray*} M^{-1}(A-\lambda E)M? \end{eqnarray*}$

Zur anderen Aufage gab es gestern was: klick

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Zitat:

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07.12.2008, 16:27

Simon01

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
Zur Registrierung: Ja, das werd ich glaub heute machen, wenn du mir das schon empfiehlst :-)

Zu den ähnlichen Matrizen: Häää..also dass die beiden Matrizen, die ich angegeben habe, ähnlich sind, da sind wir uns einig, oder?

Dann heisst es nachher aber, dass M - Lambda E_n und M' - Lambda E_n äquivalent sein sollen (nicht nur ähnlich), was aber nicht der Fall ist... oder habe ich da etwas falsch verstanden? =S

07.12.2008, 16:35

Reksilat

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
Hoppla, habe ich gar nicht gelesen, dass dort äquivalent stand. Was heißt denn, dass zwei Matrizen äquivalent sind? Laut der Wikipediadefinition sind ähnliche Matrizen immer auch äquivalent und die eine Richtung funktioniert auf jeden Fall.

07.12.2008, 16:40

Simon01

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
Wirklich =S ?
Diesen Artikel habe ich auch gelesen, aber wenn ich bspw. meine beiden ähnlichen Matrizen von vorhin habe, und dann für die erste M-LambdaE_n rechne, erhalte ich: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda -1 & 0 \\ 0 & \lambda -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und für die zweite Matrix: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda -1 & 1 \\ 0 & \lambda -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , was ja nicht äquivalent ist...

07.12.2008, 16:48

Reksilat

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
Klar sind die äquivalent. Die sind ähnlich, also auch äquivalent. Steht sogar im Artikel:

Zitat:

Ein Spezialfall von äquivalenten Matrizen sind die ähnlichen Matrizen.

Wenn Du das anders siehst, musst Du eine andere Definition von Äquivalenz haben.

07.12.2008, 17:08

Simon01

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
okey, neinein, nicht, dass ich dir es nicht glauben würde, ich muss vermutlich nur meine Äquivalenzdefinition im Kopf ein bisschen "updaten" smile

Zum Schluss hätte ich nun noch eine letzte Frage bezüglich diesem Aufgabentyp:
Falls K = C:
$\begin{eqnarray*} \sum_{\lambda\in K\text{ ein Eigenwert zu }F}~ strang(F - \lambda id_V) = n ((\sum_{\lambda\in K\text{ ein Eigenwert zu }F}~ 1) - 1) \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich am besten und einfachsten, dass diese Aussage gilt?

07.12.2008, 18:05

Reksilat

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RE: Eigenraum, Diagonalisierbarkeit usw.
Na dann update mal ein wenig. Bei Wikipedia wird das imho auch recht ausreichend erklärt

Die andere Aufgabe ist eine direkte Folgerung aus der Aufgabe im angesprochenen Thread und der Voraussetzung K=C (dann ist nämlich die Summe über die Vielfachheiten im charakteristischen Polynom gerade der Grad des Polynoms, also n)

Zitat:

Jetzt ist zu beweisen:
$\begin{eqnarray*} \forall\lambda\in K:n-strang(F-\lambda id_V)=\mu(P_F,\lambda) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} P_F \end{eqnarray*}$ das charakteristische Polynom und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ die Vielfacheit von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} P_F \end{eqnarray*}$

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