Abschätzung Matrixnorm

06.12.2008, 13:43

H4wk

Abschätzung Matrixnorm

Hallo,

Ich hab folgendes Problem:

Sei $\begin{eqnarray*} A=(\alpha_{ij}) \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} \left| \alpha_{ij} \right| \leq \| A\|_2 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \| A \|_2 \end{eqnarray*}$ die Spektralnorm von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bezeichnet.
Für $\begin{eqnarray*} \| A \|_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \| A \|_{\infty} \end{eqnarray*}$ ist das ja offensichtlich, aber mir fehlt der passende Weg das für die Spektralnorm zu beweisen.

Kann mir jemand einen Tipp geben?

Gibt es irgendwie eine abschätzung der Art
$\begin{eqnarray*} \| A \|_1 \geq \| A \|_2 \geq \| A \|_{\infty} \end{eqnarray*}$

06.12.2008, 21:06

Mathespezialschüler

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Wie ist diese Norm denn definiert?

06.12.2008, 22:19

Mazze

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Die Spektralnorm für A ist definiert als

$\begin{eqnarray*} ||A||_2 = \sqrt{\lambda_{\max}} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_{\max} \end{eqnarray*}$ der betragsgrößte Eigenwert von $\begin{eqnarray*} A^HA \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Gibt es irgendwie eine abschätzung der Art $\begin{eqnarray*} \| A \|_1 \geq \| A \|_2 \geq \| A \|_{\infty} \end{eqnarray*}$

Nein, die gibt es nicht immer. Aber alle Normen sind auf endlichdimensionalen Räumen äquivalent. Für 2 Normen $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_1, \| \cdot \|_2 \end{eqnarray*}$ gibt es Zahlen m,M mit

$\begin{eqnarray*} m\| \cdot \|_1 \leq \| \cdot \|_2 \leq M\| \cdot \|_1 \end{eqnarray*}$

Hier kann es durchaus sein das m oder M mal 1 sind.

06.12.2008, 22:58

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mazze
Die Spektralnorm für A ist definiert als

$\begin{eqnarray*} ||A||_2 = \sqrt{\lambda_{\max}} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_{\max} \end{eqnarray*}$ der betragsgrößte Eigenwert von $\begin{eqnarray*} A^HA \end{eqnarray*}$ ist.

Vielleicht hat H4wk ja eine andere Definition, nämlich als Operatornorm. Genau darauf zielte auch meine Frage ab, um erstmal zu wissen, womit man arbeiten muss. Mit der Operatornorm ist es nämlich ganz einfach.

07.12.2008, 04:10

WebFritzi

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Hier steht, durch welche Vektornorm die Spektralnorm induziert wird:

http://de.wikipedia.org/wiki/Normierter_...Cr_Matrixnormen

08.12.2008, 16:19

H4wk

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Meine Definitiion ist die von der Euklidischen Norm induzierte Matrixnorm, also

$\begin{eqnarray*} \| A \|_2 = \underset { x \in V} {sup} \quad \frac {\| Ax \|_2}{\| x \|_2} \end{eqnarray*}$

An Mazze: kann ich in diesem speziellen fall zeigen, dass $\begin{eqnarray*} M \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist, weil das wäre dann ja schon ausreichend für meine Zwecke

08.12.2008, 16:49

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sollte dabei ungleich Null sein. Auf was kommst du, wenn du bei

$\begin{eqnarray*} \|Ae_j\|_2\leq \|A\|_2 \end{eqnarray*}$

einmal die linke Seite ausgerechnet hinschreibst?

08.12.2008, 17:12

H4wk

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oh, klar, $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ muss ungleich null sein. Dann krieg ich raus:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ \sum_i a_{ij}^2} \leq \| A \|_2 \end{eqnarray*}$

nur damit ich das richtig verstehe: Das kleiner gleich gilt, da $\begin{eqnarray*} e_j \end{eqnarray*}$ ein erlaubtes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist und, falls dafür nicht das Supremum erreicht wird kann die Norm nur kleiner sein?

08.12.2008, 18:38

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von H4wk
nur damit ich das richtig verstehe: Das kleiner gleich gilt, da $\begin{eqnarray*} e_j \end{eqnarray*}$ ein erlaubtes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist und, falls dafür nicht das Supremum erreicht wird kann die Norm nur kleiner sein?

Richtig. Es ist $\begin{eqnarray*} e_j\neq 0 \end{eqnarray*}$ und dann muss natürlich $\begin{eqnarray*} \frac{\|Ae_j\|_2}{\|e_j\|_2}=\|Ae_j\|_2 \end{eqnarray*}$ kleinergleich $\begin{eqnarray*} \|A\|_2 \end{eqnarray*}$ sein, einfach aufgrund der Definition des Supremums. Du hast also:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\sum_{i=1}^m~a_{ij}^2}\leq \|A\|_2 \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt aber für ein festes $\begin{eqnarray*} i_0 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} |a_{i_0j}|\leq\sqrt{\sum_{i=1}^m~a_{ij}^2} \end{eqnarray*}$

(warum?) und damit steht es schon da.

Analog kann man die gleiche Aussage mit dem gleichen Beweis übrigens auch für jede der Matrixnormen $\begin{eqnarray*} \|\cdot \|_p \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} p\geq 1 \end{eqnarray*}$ zeigen.

08.12.2008, 20:05

H4wk

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Es gilt ja

$\begin{eqnarray*} \vert a_{i_0j} \vert = \sqrt{a_{i_0j}^2} \end{eqnarray*}$
und aus $\begin{eqnarray*} a_{i_0j}^2 \leq \sum_i a_{ij} \end{eqnarray*}$ folgt wegen der monotonie der Wurzel folgt $\begin{eqnarray*} \vert a_{i_0j} \vert \leq \sqrt{\sum_i a_{ij}^2} \end{eqnarray*}$ .

Ich glaub jetzt hab ichs verstanden.

Danke smile

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