Kroneckersymbolprodukte (SEHR SCHWIERIG!)

06.12.2008, 16:29	RolfS	Auf diesen Beitrag antworten »
Kroneckersymbolprodukte (SEHR SCHWIERIG!) Hallo zusammen! Ich übe mich gerade an einer der schierigsten Aufgaben, die ich je gesehen habe: Die Aufgabe lautet wie folgt: Seien K ein Körper, n Element von N und für i Element von {0, 1, ... , n-1} seien a_1 Element von K. Damit sei weiter $\begin{eqnarray} M : = ((\sum_{k=1}^{n-1}~\delta_{i,k}\delta_{j,k+1}) + (\sum_{k=1}^n~(-a_{k-1})\delta_{i,n}\delta_{j,k}))_{1\leq i, j\leq n} \end{eqnarray}$ Nun sollte ich das charakteristische Polynom P_M berechnen. Ich habe bis jetzt folgendes herausgefunden: (sorry, habe es in meinem Doku gespeichert, das leider nicht kompatibel mit latex ist, deshalb hier ein "Photo") Zuerst habe ich mal die Matrix für n=2,3,4 aufgeschrieben. für n=3 müssen wir bspw. folgendes anschauen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{2}~\delta_{i,k}\delta_{j,k+1}) + (\sum_{k=1}^3~(-a_{k-1})\delta_{i,3}\delta_{j,k}))_{1\leq i, j\leq 3} \end{eqnarray}$ Nun habe ich geschaut, wie die Elemente der ersten Spalte, die m_i1 aussehen: [attach]9323[/attach] Die Matrix wird also ein ziemliches Riesen-Ding...wenn ich nun aber die kronercker-symbolprodukte anschaue, erkenne ich, dass es eine n x n - Matrix gibt, weil dort, wo M definiert ist, auch der Index 1 <= i, j<= n steht, was bedeutet, dass i und j beide Werte zwischen 1 und n annehmen. Also quadratisch. ..ich hoffe, bis dahin stimmt alles... ? Jetzt sollte es eigentlich nur noch ein kleines Stückchen sein, das charakteristische Polynom zu berechnen, aber um ehrlich zu sein...ich bin am Ende meiner Kapazitäten...wie krieg ich das nun noch hin? Vielen Dank für die Hilfe....und sorry¨für die etwas schwierige Aufgabe!
06.12.2008, 19:16	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
Entspann' Dich, die Matrix sieht so aus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & ... & 0 & 0\\ & & & ... & & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 1 \\-a_0 & -a_1 & -a_2 & -a_3 & ... & -a_{n - 2} & -a_{n - 1}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und wenn Du deren charakteristisches Polynom ausgerechnet hast (man kann es in geschlossener Form für jedes n tun), wirst Du je nach Charakter zu einem Lach- oder zu einem Schreikrampf neigen. EDIT: Sorry, die Minuszeichen vor den a_i vorhin unterschlagen.
06.12.2008, 20:31	RolfS	Auf diesen Beitrag antworten »
Shitshitshit.... das charakteristische polynom ist aber nicht etwa x^n ???? ..dann würde ich eher zu einem Schreikampf neigen..soviel zeit wie ich investiert habe... hehe aber immerhin würde es dann tadellos stimmen
06.12.2008, 20:40	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nicht $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ ... es ist per definitionem für irgendein n $\begin{eqnarray} det(M_n - \lambda 1_n) \end{eqnarray}$ , das muss man etwa für n=3 oder n=4 in aller Ruhe ausrechnen und sieht dann die Struktur. Als kleiner, gerade noch erlaubter Tipp: die a_i kommen in dem charakteristischen Polynom vor.
07.12.2008, 13:31	RolfS	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für n=3 bekomme ich x^3 (also x entspricht Lambda) und für n=4 x^4 heisst das, dass das charakteristische Polynom P_M : = a*(x-1)^(n-1) ist?
08.12.2008, 20:35	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} det(M_n - x 1_n) = (-1)^n (x^n + \sum_{m=0}^{n - 1} a_m x^m) \end{eqnarray}$
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