Invertierte/Transponierte Matrizen

07.12.2008, 16:35

Hans123

Invertierte/Transponierte Matrizen

Hallo Leute

Hab eine kleine frage an euch:

Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine quadratische invertierbare matrix und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ eine quadratische matrix, von der wir nichts näheres kennen, die aber folgendes kann:

$\begin{eqnarray*} W^t\*A\*W=A \end{eqnarray*}$

Für mich kann das nur gelten, wenn $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ eine Einheitsmatrix ist. Liege ich richtig, oder könnte es sein, das es auch andere matrizen gibt, die so was können?

Danke und Gruss
Hans123

07.12.2008, 16:37

Mazze

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Zitat:

Liege ich richtig, oder könnte es sein, das es auch andere matrizen gibt, die so was können?

Wie siehts aus mit Minus 1 mal der Einheitsmatrix?

07.12.2008, 16:59

Hans123

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Hmmm...stmmt. Ich habe noch ein bisschen mit anderen Matrizen herumgespielt, aber nun glaube ich wirklich, dass es keine mehr gibt. Ich überlege mir mal, ob man so was beweisen kann...

07.12.2008, 17:40

Mathespezialschüler

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Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix ist, dann gibt es sehr viele solche Matrizen $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ , nämlich alle orthogonalen Matrizen. Auch im allgemeinen Fall wird es mehr Matrizen mit der Eigenschaft geben.

07.12.2008, 17:58

Mazze

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Zum Beispiel alle orthogonalen Matrizen W für die $\begin{eqnarray*} WA = AW \end{eqnarray*}$ gilt.

07.12.2008, 20:44

Reksilat

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Man kann immerhin sagen, dass $\begin{eqnarray*} {\rm det}(W)=\pm 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

In der orthogonalen Gruppe O(n,K) wäre das hier gerade die Aufgabe, zu einer beliebigen Matrix den Zentralisator zu finden. Wenn Ihr eine unkomplizierte Lösung gefunden habt, lasst es mich bitte wissen. Ich halte das Problem jedenfalls für schwer genug, um Hans den Rat zu geben, nicht weiter nach einer kompletten Lösung zu suchen.

05.02.2009, 20:19

Hans123

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Bin erneut über diese Aufgabe gestolpert. Ich hatte mich anfangs falsch ausgedrückt:

Wir wissen:

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ sind beide $\begin{eqnarray*} \in GL(n,\mathbb K) \end{eqnarray*}$ also invertierbar.

Zu zeigen ist eigentlich nur:

$\begin{eqnarray*} G = \{ W: W^t AW = A\} \end{eqnarray*}$ ist eine Untergrupe der $\begin{eqnarray*} GL(n,\mathbb K) \end{eqnarray*}$

Das problem sollte eigentlich mit einfachen grundlegenden rechenregelnregeln über invertierbare und transponierte matrizen lösbar sein.
Ich dachte man könnte sowas schreiben:

$\begin{eqnarray*} W^t AW = A \Rightarrow W^t WW = W \end{eqnarray*}$

Dann hätten wir $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ charakterisiert. Aber bringt das was? verwirrt

05.02.2009, 20:33

Reksilat

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Zitat:

Original von Hans123
$\begin{eqnarray*} W^t AW = A \Rightarrow W^t WW = W \end{eqnarray*}$

Das sollte mich doch sehr wundern. Nimm beispielsweise $\begin{eqnarray*} A=E \end{eqnarray*}$ (einheitsmatrix), dann ist $\begin{eqnarray*} G={\rm GL}(n,K) \end{eqnarray*}$ . Aber $\begin{eqnarray*} W^tWW=W \end{eqnarray*}$ gilt bestimmt nicht für alle $\begin{eqnarray*} W\in {\rm GL}(n,K) \end{eqnarray*}$ . Zum Beispiel nicht für $\begin{eqnarray*} W=2\cdot E \end{eqnarray*}$ .

Nein, Du sollst einfach die Untergruppeneigenschaften nachprüfen, d.h.
(1) $\begin{eqnarray*} E\in G \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} V,W\in G\Rightarrow VW\in G \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} V\in G\Rightarrow V^{-1}\in G \end{eqnarray*}$

05.02.2009, 21:17

Hans123

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Ja,genau das hatte ich auch vor. Aber dann müsste ich daraus etwas intelligentes basteln können:

$\begin{eqnarray*} (W^t\*A\*W)( W'^t\*A'\*W') = ... \end{eqnarray*}$

Was ich nicht fertig bringe.
übrigens frage ich mich, wiso meine behauptung von vorhin nicht stimmt. W ist ja eine invertierbare matrix. also kann ich sie doch an stelle von A schreiben? Einzige bedingung für A ist doch, das sie invertierbar ist?

05.02.2009, 21:30

Reksilat

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Hi Hans,

Nein, es gibt kein $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ . Dein $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist beliebig aber fest und Du betrachtest die Menge:
$\begin{eqnarray*} G_{(A)}:=\{W|W^tAW=A\} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe auch nicht, weshalb Du hier was basteln willst. Es ist doch gefordert, die Untergruppeneigenschaften zu zeigen, dann gibt es in jedem Falle nur einen Ansatz und der ist es in den Hefter zu schauen, was diese Eigenschaften sind und sie hier zu überprüfen. Auf gut Glück irgendwas zu multiplizieren ist keine sinnvolle Herangehensweise.

(1) Wieso ist $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ in dieser Menge?
(2) Nimm $\begin{eqnarray*} V,W\in G_{(A)} \end{eqnarray*}$ und zeige, dass auch $\begin{eqnarray*} VW\in G_{(A)} \end{eqnarray*}$ ist, also $\begin{eqnarray*} (VW)^tA(VW)=A \end{eqnarray*}$ .
(3) ...

06.02.2009, 21:53

Hans123

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Abgeschlossen bezüglich Multiplikation:
$\begin{eqnarray*} (VW)^tA(VW)=A \Rightarrow V^tW^tAVW=A \Rightarrow V^t(W^tAVW)=A \Rightarrow V^t(W^t(AV)W)=A \Rightarrow V^tAV=A \end{eqnarray*}$

Um zu zeigen, dass das iverse Elements auch existiert würde ich so anfangen:
$\begin{eqnarray*} (W^{-1})^tA(W^{-1})=A \Rightarrow... \end{eqnarray*}$

Wäre das richtig?

07.02.2009, 12:04

Reksilat

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Morgen Hans,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (VW)^tA(VW)=A \Rightarrow V^tW^tAVW=A \Rightarrow V^t(W^tAVW)=A \Rightarrow V^t(W^t(AV)W)=A \Rightarrow V^tAV=A \end{eqnarray*}$

Falsch! Niemals mit der Behauptung anfangen, der letzte Schritt ist auch nicht nachvollziehbar. Was sind die Voraussetzungen, was willst Du zeigen?

Die Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} V^tAV=A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W^tAW=A \end{eqnarray*}$
Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} (VW)^tA(VW)=A \end{eqnarray*}$

Die beste Vorgehensweise ist es hier, die eine Seite der Behauptung zu nehmen und sie mit Hilfe der Voraussetzung in die andere Seite zu überführen.

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