Skalarprodukt

08.12.2008, 13:31

Peter123

Skalarprodukt

s und t seien reelle Polynome vom Grad <= 2. Zeigen Sie, dass durch
$\begin{eqnarray*} <s,t> = \sum_{z=0}^2~s(wz)t(wz) \end{eqnarray*}$
wobei w0; w1; w2 paarweise verschiedene reelle Zahlen sind, ein Skalarprodukt
auf dem Vektorraum P2 der reellen Polynome vom Grad <=2 gegeben
ist.

Irgendwie finde ich keinen vernüftigen Ansatz zu dieser Aufgabe.
Vielleicht kann mir jemand einen kleinen Schubs geben.

08.12.2008, 14:00

klarsoweit

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RE: Skalarprodukt
Indizes macht man mit einem Unterstrich:

$\begin{eqnarray*} <s,t> = \sum_{z=0}^2~s(w_z) \cdot t(w_z) \end{eqnarray*}$

Wo ist denn das Problem? Du mußt doch nur zeigen, daß die Eigenschaften des Skalarprodukts erfüllt sind.

08.12.2008, 14:24

Peter123

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RE: Skalarprodukt
Das ich zeigen soll das $\begin{eqnarray*} <s,t> = <t, s> \end{eqnarray*}$ usw. ist verstehe ich schon.
Also $\begin{eqnarray*} <s,t> = \int_{b}^{a}~s(w_z)t(w_z)~dx = <t, s> \end{eqnarray*}$ , z = 0,1,2
Bloß fehlt mir irgendwie der generelle Ansatz, was ich da jetzt machen soll und wie ich das zeigen soll.

08.12.2008, 14:29

klarsoweit

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RE: Skalarprodukt
Was heißt hier "Ansatz"? Du mußt doch nur für das hier definierte "Skalarprodukt" die Skalarprodukteigenschaften nachweisen.

Was ist laut Definition <s, t>? Was ist <t, s>? Kommt bei beiden das gleiche raus?

Und warum nimmst du jetzt das Integral, wo vorher eine Summe stand? verwirrt

08.12.2008, 15:19

Peter123

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RE: Skalarprodukt
verwirrt

frag ich mich selber

Also <s, t> = s0t0 + s1t1 + s2t2 = <t, s> mit
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s(w_0) \\ s(w_1) \\ s(w_2) \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} s(w_0) \\ s(w_1) \\ s(w_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das dann weiter mit <s, t+u> = <s,t>+<s,u>???

08.12.2008, 15:23

klarsoweit

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RE: Skalarprodukt
Was sollen denn die s0, t0 etc. sein? Und warum schreibst du die Funktionswerte von s als Vektor? Und das doppelt?

08.12.2008, 15:26

Peter123

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RE: Skalarprodukt
Natürlich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} s(w_0) \\ s(w_1) \\ s(w_2) \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} t(w_0) \\ t(w_1) \\ t(w_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

08.12.2008, 15:33

klarsoweit

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RE: Skalarprodukt
Bleibt immer noch die Frage, warum du das als Vektoren schreibst.

Zitat:

Original von Peter123
Und das dann weiter mit <s, t+u> = <s,t>+<s,u>???

Ja.

08.12.2008, 15:34

Peter123

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RE: Skalarprodukt
Also s0, soll das Polynom s, höchstens 2. Grades sein, mit w0 eingesetzt.

08.12.2008, 15:45

klarsoweit

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RE: Skalarprodukt
OK. Ich würde es aber bei s(w_0) belassen.

08.12.2008, 15:57

Peter123

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RE: Skalarprodukt
Also habe ich es jetz richtig verstanden?

$\begin{eqnarray*} <s, t+u> = s(w_0)(t(w_0)+u(w_0)) + s(w_1)(t(w_1)+u(w_1)) + s(w_2)(t(w_2)+u(w_2)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =s(w_0)t(w_0)+s(w_0)u(w_0) + s(w_1)t(w_1)+s(w_1)u(w_1) + s(w_2)t(w_2)+s(w_2)u(w_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(s(w_0)t(w_0) + s(w_1)t(w_1) + s(w_0)t(w_0)) + (s(w_0)u(w_0)+s(w_1)u(w_1) + s(w_2)u(w_2)) = <s,t>+<s,u> \end{eqnarray*}$

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

08.12.2008, 16:02

klarsoweit

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RE: Skalarprodukt
Im Prinzip richtig, wenn man nur die Indizes richtig dressiert. smile

$\begin{eqnarray*} =(s(w_0)t(w_0) + s(w_1)t(w_1) + s(w_2)t(w_2)) + (s(w_0)u(w_0)+s(w_1)u(w_1) + s(w_2)u(w_2)) = <s,t>+<s,u> \end{eqnarray*}$

EDIT: es ist auch nicht verboten, das Summensymbol zu verwenden. Augenzwinkern

08.12.2008, 16:10

Peter123

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RE: Skalarprodukt

Zitat:

Original von klarsoweit
Im Prinzip richtig, wenn man nur die Indizes richtig dressiert. smile

ja, ja Copy&Paste. Hammer

Aber vielen Dank für den "Schubser".

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