Integrationsaufgaben

09.12.2008, 13:47

tribe

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Integrationsaufgaben

Hallo liebe Foren Mitglieder smile

smile

Ich bin momentan mit einigen Rechnungen ziemlich überfordert und würde mich sehr über eure Hilfe freuen.

Ich habe zwar eine Lösung zu den Aufgaben doch werde ich auch aus dieser oft nicht schlau.

erstes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{dx}{x^2\sqrt{1+x^2}}= \end{eqnarray*}$

Hinweis: Man substituiere x=tan t

Es soll auch die maximal mögliche Definitionsmenge bestimmt werden.

Die Definitionsmeng Lautet für x also $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ weil bei x=0 eine Divison durch 0 folgen würde, welche nicht definiert ist.

Substituiere ich x nun durch tan t erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{dx}{dt}= \frac{d tan t}{dt}= \frac{d}{dt}\cdot tan t =\frac{1}{\cos^2(t)} \end{eqnarray*}$

Der Folgende Schritt ist mir nun aber etwas unklar:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{\tan^2(t)\sqrt{1+\tan^2(t)}}\cdot \frac{dt}{\cos^2(t)} = \end{eqnarray*}$

Könnte mir bitte jemand erklären warum der zweite Bruch so aussieht ?
Weiters verstehe ich auch nicht ganz wie ich die Definitionsmenge von t bestimme.

fortsetzung folgt Big Laugh

Big Laugh

09.12.2008, 13:53

klarsoweit

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RE: Integrationsaufgaben
Es muß ja auch heißen: $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} = \frac{1}{\cos^2(t)} \end{eqnarray*}$ . smile

smile

Und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos^2(t)} \end{eqnarray*}$ kann man leicht umformen in $\begin{eqnarray*} 1 + tan^2(t) \end{eqnarray*}$ .

Tipp: keine Zeilenschaltungen im Latexcode machen.

09.12.2008, 14:00

tribe

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Ups

sorry hab mich verschriebn, danke fürs drauf aufmerksam machen, trotzdem ist mir das unklar

(hab den fehler obn editiert)

09.12.2008, 14:47

klarsoweit

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Was ist unklar? Schreibe für den Term unter der Wurzel 1/cos²(t) und fasse mal zusammen.

09.12.2008, 18:28

tribe

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Zitat:

Original von klarsoweit
Schreibe für den Term unter der Wurzel 1/cos²(t) und fasse mal zusammen.

Da ich das alles auch erklären können muss, kurz nochmal die frage wie du darauf kommst. Ist das so richtig? :

$\begin{eqnarray*} 1+ \tan^2(t)= 1+\frac{\sin^2(t)}{\cos^2(t)}= \frac{\cos^2(t)}{\cos^2(t)}+ \frac{\sin^2(t)}{\cos^2(t)}= \frac{\cos^2(t)+\sin^2(t)}{\cos^2(t)} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \frac{1}{\cos^2(t)} \end{eqnarray*}$ Wegen $\begin{eqnarray*} \sin^2(t)+\cos^2(t)=1 \end{eqnarray*}$

dann würd ich so weitermachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{\sin^2(t)}{\cos^2(t)}\cdot\sqrt{\frac{1}{\cos^2(t)} } } \cdot \frac{dt}{\cos^2(t)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\cos^2(t)}{{\sin^2(t)} \cdot {\sqrt{\frac{1}{\cos^2(t)}} } } \cdot\frac{dt}{\cos^2(t)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{{\sin^2(t)} \cdot {\sqrt{\frac{1}{\cos^2(t)}} } } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{{\sin^2(t)} \cdot {({\frac{1}{\cos^2(t)}} } )^{\frac{1}{2} }} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\cos(t)}{\sin^2(t)} \cdot dt \end{eqnarray*}$

jetz substituiere ich mal sint durch u...

09.12.2008, 19:22

tribe

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Sorry, hab das Integral Symbol bei allen Gleichungen vergessen, kanns nicht mehr editiern.

$\begin{eqnarray*} u=sin(t) \Rightarrow \frac{du}{dt}= cos(t) \Rightarrow dt=\frac{du}{cos(t)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{cos(t)}{u^2} \cdot \frac{du}{cos(t)} = \int \frac{1}{u^2}\cdot du = \int u^{-2}\cdot du\ = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{sin(t)} + C = -\frac{1}{sin(arctan(x))} + C \end{eqnarray*}$

Kann man das noch weiter vereinfachen ?

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09.12.2008, 20:22

outSchool

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Zitat:

Original von tribe
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{sin(t)} + C = -\frac{1}{sin(arctan(x))} + C \end{eqnarray*}$

Kann man das noch weiter vereinfachen ?

Ja.

$\begin{eqnarray*} sin(y)=\frac{tan(y)}{\sqrt{1+tan^2(y)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=arctan(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin(arctan(x))=\frac{tan(arctan(x))}{\sqrt{1+tan^2(arctan(x))}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin(arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{sin(t)} + C = -\frac{1}{sin(arctan(x))} + C =-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} + C \end{eqnarray*}$

09.12.2008, 21:25

tribe

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Vielen Dank

Zitat:

$\begin{eqnarray*} sin(y)=\frac{tan(y)}{\sqrt{1+tan^2(y)}} \end{eqnarray*}$

Doch woher weis ich das ? muss ich mir dass dann zwangsläufig herleiten, auf die art wie ich es oben für 1+tan²x gemacht habe?

09.12.2008, 22:09

outSchool

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entweder Formelsammlung oder

1)

$\begin{eqnarray*} tan(x)= \frac{sin(x)}{cos(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan^2(x)= \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 + tan^2(x)= 1 + \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)} = \frac{cos^2(x)+sin^2(x)}{cos^2(x)} = \frac{1}{cos^2(x)} \end{eqnarray*}$

2)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1 + tan^2(x)} = \frac{1}{cos(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + tan^2(x)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(x)\cdot cos(x)}{cos(x)} = \frac{tan(x)}{\sqrt{1 + tan^2(x)}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin(x) = \frac{tan(x)}{\sqrt{1 + tan^2(x)}} \end{eqnarray*}$

09.12.2008, 22:45

tribe

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thx

smile

10.12.2008, 02:10

tribe

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So dann hätt ich noch zu einem anderen Beispiel eine Frage
Angabe lautet:

$\begin{eqnarray*} \int \arcsin(x) dx = \end{eqnarray*}$

Ich habe einen Lösungsweg bei dem als erster Schritt x durch sin(t) substituiert wird.
Ich wüsste nun aber gern ob es auch so funktioniert wenn man sofort partiell integriert.
Hätte mir das so vorgestellt:

$\begin{eqnarray*} u=\arcsin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ` $\begin{eqnarray*} =dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x \arcsin(x)- \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2} } \cdot dx \end{eqnarray*}$

Substituieren: U= 1-x²

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}= -2x \Rightarrow dx=\frac{du}{-2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =x \arcsin(x)-\int\frac{x}{u^\frac{1}{2} }\cdot -\frac{1}{2x} \cdot du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =x \arcsin(x)+\frac{1}{2} \int{u^{-\frac{1}{2}} }\cdot du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =x \arcsin(x)+\frac{1}{2}\cdot \frac{{u^{\frac{1}{2}} }}{\frac{1}{2} } +C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =x \arcsin(x)+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{1} \cdot u^\frac{1}{2} +C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =x \arcsin(x)+ \sqrt{1-x^2} +C \end{eqnarray*}$

Kann das so Funktionieren ? und wäre dass die einfachste methode ?

danke

10.12.2008, 08:09

klarsoweit

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Das ist ok. Möglich wäre auch die Substitution x = sin(u). Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.12.2008, 16:21

tribe

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Zitat:

Original von klarsoweit
Substitution x = sin(u). Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das versteh ich wiedermal nicht ganz, würds aber auch gern mal so rechnen, könntest du mir das bitte nochmal kurz erläutern ?

Dann hätt ich zum nächsten Beispiel noch eine Frage:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^2+x+1}{(x^2+1)^2} dx \end{eqnarray*}$

Hier muss ich wohl mal eine partialbruchzerlegung mach, aber seh ich das richtig dass es für diese funktion keine nullstellen gibt ? wie lautet dann mein ansatz ?

10.12.2008, 16:42

outSchool

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Zitat:

Original von tribe
$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^2+x+1}{(x^2+1)^2} dx \end{eqnarray*}$

Hier muss ich wohl mal eine partialbruchzerlegung mach, aber seh ich das richtig dass es für diese funktion keine nullstellen gibt ? wie lautet dann mein ansatz ?

Es geht mit

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int \frac{x^2+1}{(x^2+1)^2} dx + \int \frac{x}{(x^2+1)^2} dx \end{eqnarray*}$

10.12.2008, 17:58

tribe

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geschockt

so einfach geschockt

geschockt

da kann man den ersten bruch ja gleich kürzen, das heißt ich spar mir die partialbruchzerlegung und en koeffizientenvergleich welche in meiner musterlösung gemacht werden....

ich bin beindruckt smile

smile

danke

10.12.2008, 18:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von tribe

Zitat:

Original von klarsoweit
Substitution x = sin(u). Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das versteh ich wiedermal nicht ganz, würds aber auch gern mal so rechnen, könntest du mir das bitte nochmal kurz erläutern ?

So schwer ist das nicht. Das kannst du auch selbst.

10.12.2008, 21:15

tribe

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Zitat:

Original von outSchool

Es geht mit

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int \frac{x^2+1}{(x^2+1)^2} dx + \int \frac{x}{(x^2+1)^2} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \arctan(x)+\int\frac{x}{(x^2+1)^2} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\cdot dx={u^\frac{1}{2} }\cdot du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\cdot \frac{dx}{du} =\frac{1}{2} \cdot u^{-\frac{1}{2} }=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{u} } =\frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\arctan(x)+\int\frac{x}{(u+1)^2} \cdot \frac{du}{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\arctan(x)+\int\frac{1}{2(u+1)^2} \cdot{du} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\arctan(x)+\frac{1}{2} \int{(u+1)^{-2}} \cdot{du} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\arctan(x)+\frac{1}{2} \cdot \frac{(u+1)^{-1}} {-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\arctan(x)+\frac{1}{2} \cdot(-1)\cdot \frac{1}{(u+1)}+C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\arctan(x)-\frac{1}{2(x^2+1)}+C \end{eqnarray*}$

So hoffe das ist richtig. Fals ja, wär hier auch noch eine andere/bessere substitutions möglichkeit sinnvoll ?

danke

10.12.2008, 22:01

tribe

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Zitat:

Original von klarsoweit

So schwer ist das nicht. Das kannst du auch selbst.

Irgendwas mach ich falsch...
Du meinst x=sin(u) , also u=arcsin(x)

$\begin{eqnarray*} = x \arcsin(x)- \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2} } \cdot dx \end{eqnarray*}$

Substituieren: u=arcsin(x)

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \Rightarrow dx=\frac{\sqrt{1-x^2}}{1}\cdot du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x\cdot u - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2} } \cdot \frac{\sqrt{1-x^2}}{1}\cdot du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x\cdot u - \int x\cdot du = x\cdot u - \frac{x^2}{2} + C \end{eqnarray*}$

???

11.12.2008, 08:09

klarsoweit

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Kleines Mißverständnis. Die Substitution x = sin(u) solltest du auf das Ausgangsintegral anwenden.

$\begin{eqnarray*} \int~\arcsin(x)~dx \end{eqnarray*}$

11.12.2008, 14:07

tribe

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Ach so

smile

Auf die Art hab ich das bereits gerechnet.

Zitat:

Original von tribe
.....Ich habe einen Lösungsweg bei dem als erster Schritt x durch sin(t) substituiert wird......

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