A,B kommutieren

09.12.2008, 19:43

energyfull

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A,B kommutieren

hallo zusammen, habe fragen bzgl. dieser aufgabe:

K ist ein Körper und $\begin{eqnarray*} n\geq 0 \end{eqnarray*}$ . es heisst wenn zwei nxn-Matrizen A,B miteinander kommutieren, dann gilt AB=BA.

ich soll jetzt
1) 2x2 Matrizen A,B angeben, die miteinander kommutieren
und
2) die nicht miteinander kommutieren

kann ich dass dann so machen:
2) für n=2
A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , B= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
AB ist dann: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und BA ist dann: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

d.h. dann $\begin{eqnarray*} AB\neq BA \end{eqnarray*}$

oder macht man das anders, bei der 1 habe ich noch keine überlegungen

10.12.2008, 09:51

Raumpfleger

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RE: A,B kommutieren
2) ist okay,

bei 1) kann man an alle Matrizen denken, die nur auf der Hauptdiagonale irgendwelche Elemente haben. Dann kommutiert das Produkt zweier solcher Matrizen, insofern K kommutativ ist. Wenn K ein Schiefkörper ist, dann muss man für die beiden Diagonalen Elements aussuchen, die in K bzgl. der Multiplikation kommutieren (simpel: die Vielfachen der Einheitsmatrizen, simpler: die Einheitsmatrix und die Nullmatrix).

10.12.2008, 15:50

energyfull

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also ich habe jetzt ein bespiel dafür gefunden:

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und

B= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und AB= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -10 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und BA= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -10 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also gilt AB=BA.

nun habe ich die 2x2 Matrizen angeben für die das erfüllt wird smile

smile

habe noch eine frage:

sei nun $\begin{eqnarray*} A\in Mat(n,K) \end{eqnarray*}$ . Beweisen sie, das $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit allen Matrizen $\begin{eqnarray*} B\in Mat(n,K) \end{eqnarray*}$ kommutiert genau dann wenn $\begin{eqnarray*} A=\lambda E \end{eqnarray*}$ für ein skalar $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$

wie kann ich das hier lösen??

10.12.2008, 16:13

Raumpfleger

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Zitat:

Original von energyfull

nun habe ich die 2x2 Matrizen angeben für die das erfüllt wird smile

smile

nicht die 2x2 Matrizen hast Du angegeben, sondern kein Beispiel kommutierender Matrizen A, B:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -8 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -10 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.12.2008, 16:40

energyfull

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oh stimmt, habe ich erst jetzt bemerkt,

wir können B= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -8 & \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hier klappt es nach meiner rechnung

wie soll ich denn die 2x2 matrizen angeben, das habe ich jetzt nicht verstanden

10.12.2008, 16:44

Raumpfleger

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Zitat:

Original von energyfull

sei nun $\begin{eqnarray*} A\in Mat(n,K) \end{eqnarray*}$ . Beweisen sie, das $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit allen Matrizen $\begin{eqnarray*} B\in Mat(n,K) \end{eqnarray*}$ kommutiert genau dann wenn $\begin{eqnarray*} A=\lambda E \end{eqnarray*}$ für ein skalar $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$

Betrachte unter den Matrizen B alle diejenigen, die nur an genau einer Position eine 1 haben und sonst überall eine Null. Daraus folgen Bedingungen an A, mit so einem B zu kommutieren. Die Gesamtheit der Bedingungen ergibt die Aussage, zusammen mit dem Fakt, dass alle Matrizen aus Mat(n, K) von den obengenannten Matrizen linear abhängig sind.

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10.12.2008, 16:59

energyfull

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sind die anderen aufgabenteile jetzt gelöst??

das verstehe ich jetzt nicht,wie meinst du das.

was ist denn mit $\begin{eqnarray*} \lambda E \end{eqnarray*}$ das soll ja A sein.

ist E nicht :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

11.12.2008, 10:16

Raumpfleger

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Du willst ja erst beweisen, dass $\begin{eqnarray*} A = \lambda E_n \end{eqnarray*}$ sein muss. Betrachte alle Matrizen $\begin{eqnarray*} B_{ij} \end{eqnarray*}$ , die nur an der Stelle (i,j) eine 1 haben und sonst Nullen, z.B. $\begin{eqnarray*} B_{23} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(n = 4) und sieh' nach, welche Bedingung an die Elemente von A aus der Gleichung
$\begin{eqnarray*} B_{ij} A = A B_{ij} \end{eqnarray*}$ folgt.

11.12.2008, 22:21

energyfull

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also wenn ich

$\begin{eqnarray*} A=\lambda E \end{eqnarray*}$

und mein E ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda E \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt das??

12.12.2008, 00:04

Ben Sisko

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Ja, das stimmt. Und schau dir nochmal den letzten Post von Raumpfleger an, er gibt dir ja klare Anweisungen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das hier

Zitat:

Original von Raumpfleger
(n = 4) und sieh' nach, welche Bedingung an die Elemente von A aus der Gleichung
$\begin{eqnarray*} B_{ij} A = A B_{ij} \end{eqnarray*}$ folgt.

machst du am besten, indem du die betreffende Matrizenmultiplikation mal formelmäßig hinschreibst (Definition der Matrizenmultiplikation).

12.12.2008, 16:06

energyfull

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also für n=4

ist dann mein A:

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda &0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0&\lambda & 0 \\ 0& 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich das mit

B= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 &0 & 0 & 0 \\ 0 & 0&1 & 0 \\ 0 & 0&0 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

multipliziere kommt für

AB= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 &0 & 0 & 0 \\ 0 & 0&0 & 0 \\ 0 & 0&0 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und BA = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 &0 & 0 & 0 \\ 0 & 0&0 & 0 \\ 0 & 0&0 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also das selbe??

habe ich da was falsch gemacht, oder falsch verstanden

13.12.2008, 00:17

Ben Sisko

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Nein, das musst du ein bisschen allgemeiner machen.

Damit

Zitat:

Original von Ben Sisko
machst du am besten, indem du die betreffende Matrizenmultiplikation mal formelmäßig hinschreibst (Definition der Matrizenmultiplikation).

meinte ich die folgende Definition:
$\begin{eqnarray*} c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj} \end{eqnarray*}$

Was weißt du jetzt über die $\begin{eqnarray*} b_{kj} \end{eqnarray*}$ (siehe Definition von Raumpfleger)?

Damit sollst du jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_{ik}=\lambda \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{ik}=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \neq k \end{eqnarray*}$ , wenn die Multiplikation kommutativ ist (und umgekehrt).

13.12.2008, 13:08

energyfull

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$\begin{eqnarray*} b_{ij} \end{eqnarray*}$ muss an der stelle i,j eine 1 haben sonst nur nullen

ich verstehe das nicht

13.12.2008, 13:16

kiste

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Lass dir doch nicht immer alles aus der Nase ziehen.
Wenn du weißt dass es fast immer 0 gibt dann kannst du doch die Summe beim c_ij erheblich vereinfachen. Dies liefert dir eine Bedingung...

13.12.2008, 13:32

energyfull

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Zitat:

Original von Ben Sisko
Was weißt du jetzt über die $\begin{eqnarray*} b_{kj} \end{eqnarray*}$ (siehe Definition von Raumpfleger)?

Damit sollst du jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_{ik}=\lambda \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{ik}=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \neq k \end{eqnarray*}$ , wenn die Multiplikation kommutativ ist (und umgekehrt).

ok über $\begin{eqnarray*} b_{ij} \end{eqnarray*}$ kennen wir die definition aber das mit $\begin{eqnarray*} a_{ik} = \lambda \end{eqnarray*}$ ist mir noch nicht so klar

13.12.2008, 14:20

Raumpfleger

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@energyfull

Du bist anscheinend völlig neben der Spur (bitte um Entschuldigung, falls ich das falsch sehe): Du sollst beweisen, dass eine Matrix A mit allen Matrizen B aus Mat(n, K) genau dann kommutiert, wenn $\begin{eqnarray*} A= \lambda E_n \end{eqnarray*}$ .

Dieser Beweis besteht aus 2 Teilen:
(1) Wenn $\begin{eqnarray*} A=\lambda E_n \end{eqnarray*}$ , dann kommutiert A mit allen B aus Mat(n, K). Das ist trivial und kann schnell nachgerechnet werden.

(2) Wenn A mit allen B aus Mat(n, K) kommutiert, dann muss A ein Vielfaches der Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} E_n \end{eqnarray*}$ sein. Dazu muss man von einem allgemeinen A ausgehen und Bedingungen an dieses A finden, so dass A mit allen B kommutieren kann. Dazu muss man wiederum die Menge aller B aus Mat(n, K) in den Griff kriegen und an der Stelle kommen die $\begin{eqnarray*} B_{ij} \end{eqnarray*}$ ins Spiel.
Jedes beliebige B aus Mat(n, K) ist eine Linearkombination der $\begin{eqnarray*} B_{ij} \end{eqnarray*}$ . Nun muss man - wie bereits viele hier gesagt haben - schauen, welche Bedingungen sich an A ergeben, damit es mit den $\begin{eqnarray*} B_{ij} \end{eqnarray*}$ kommutieren kann und dann ist man mit Schritt (2) fertig.

13.12.2008, 14:49

energyfull

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ja bin durcheinander zu 1)

hatte ich ja angegeben was A ist,

ich weiss nicht wie ich vorgehen soll

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