Allgemeines Viereck

Neue Frage »

Liz2103 Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeines Viereck
Moin!

Hier die Aufgabenstellung:

In einem allgemeinem Viereck gelte:


wobei A der Flächeninhalt ist und a,b,c,d die aufeinanderoflgenden Seiten des Vierecks. Beweisen sie diesen Sachverhalt!

Ich bin leider schon am verzweifeln bei dieser Aufgabe. Ich habe schon diverse Formel für den Flächeninhalt eines allg. Vierecks gefunden, aber leider bringen mich diese Formeln auch kein Stück weiter. Da ich bei einem beliebigen Viereck keien Anhaltspunkte habe (Umkreis,Inkreis, Winkel), bin ich ein wenig ratlos. Auch mit den Diagonalen ist das alles nicht so leicht, weil man ja auch nicht-konvexe vierecke betrachten muss.

Tjoa, wenn jemand von euch eine idee hat, oder mir mit einem Tipp auf die Sprünge helfen könnte wäre das super toll.

Vielen Dank. Liebe Grüße
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemeines Viereck? Also nichtüberschlagen sollte es schon sein, sonst fällt ja allein die Definition dessen, was der Flächeninhalt sein soll, ziemlich schwer... smile

Im konvexen Viereck gilt gemäß Triangulation

,

im nichtkonvexen Viereck zumindest noch

.

Jetzt musst du nur noch die vier genannten Dreiecksflächeninhalte geeignet (um nicht zu sagen: offensichtlich) nach oben abschätzen, schon bist du fertig.


EDIT: Ich sehe gerade, meine Beweisskizze taugt eher für

. verwirrt
Liz2103 Auf diesen Beitrag antworten »

also so war die fragestellung smile
bedeutet das jetzt das ich die nicht-konvexen weglassen muss, oder gesondert nochmal betrachte oder wie ist das gedacht? (vielleicht kennst du den satz ja und weisst, welche dreiecke gemeint sind) Vielen Dank schonmal für die Hilfe, ich werd mich da gleich morgen mal dransetzen, mit deinem Tipp.

EDIT: ich guck mal schnell das ich mich nicht vertippt habe, moment.
Liz2103 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so wies da steht ist es richtig. Andersrum hätte ich auch schon mit dreiecksungleichung ranzugehen, aber so komm ich irgendwie auf keine grünen Zweig.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm, vielleicht so: Wir betrachten alle Vierecke mit festen Werten für , und Diagonale .

Jetzt fixieren wir mal die Eckpunkte und (also die Endpunkte der Diagonalen ). dann liegen und auf Ellipsenbögen beiderseits (mit Brennpunkten in und ). Das Maximum des Vierecksflächeninhalts unter diesen Rahmenbedingungen wird gerade dann angenommen, wenn auf der Mittelsenkrechten von liegen, oder mit anderen Worten: Wenn und gilt.

Dies berücksichtigend genügt es, die Ungleichung für den Sonderfall zu beweisen, was dann nicht sonderlich schwierig ist.


So sollte es stimmen - die Details überlegst du dir aber bitte selbst, denn ich verabschiede mich für heute. Wink


EDIT: Noch ein Bildchen zur Beweisidee.

[attach]9369[/attach]
Liz2103 Auf diesen Beitrag antworten »

Also die ellipsenbögen haben mich leider nicht weiter gebracht, da ich weder weiss, wie ich die konstruieren könnte, noch wie sie mich zum ziel führen.
Ich hab allerdings stark die Vermutung, das ich mit der eigenschaft von Dreiecken argumentieren könnte. Nämlich die Eigenschaft, das der Flächeninhalt A eines dreiecks immer kleiner gleich der Hälfte aus dem Produkt zweier Seiten ist. Also formal:



dies könnte ich für alle vier Dreiecke anwenden. Also wenn ich das Viereck durch die Diagonalen zerlege. Allerdings bekomme ich dann leider nicht



sondern



Ich hatte noch eine andere Idee. Und zwar mithilfe des Varignon Paralellogramms zu argumentieren. allerdings erhalte ich dann am Ende die Ungleichung:



und diese Ungleichung ist eindeutig nicht immer wahr. (es ist leicht ein gegenbesipiel zu konsturieren)!

Also falls jemand von euch noch eine Idee hat oder mir einen Tipp zu meinem Lösungsansatz verraten kann wäre das schön.

LG
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Manchmal ist die Lösung so verblüffend einfach, dass man sie nicht sofort sieht;

Einfach die Seiten und austauschen! Konstruktiv gesprochen spiegelt man an der Mittelsenkrechten von , der gespiegelte Punkt sei mit dann und ,

[attach]9376[/attach]

Die Vierecke und sind flächengleich, also gilt gemäß oben schon bewiesener Formel (von mir 09.12., 22:48 bzw. von dir 12.12, 18:08):

.
Liz2103 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja Tatsache! Die Lösung war wirklich nicht sonderlich schwer und gut nachvollziehbar. Und wieder einmal könnte ich mir an die Stirn hauen das ich nich auch selbst drauf gekommen bin! Also vielen Dank!! Nun aber wirklich ein schönes Wochenende!
LG
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

eine sehr schöne lösung
werner
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich schön und elementar, hier
Flächeninhaltsungl. von Vierecken ist noch eine andere Lösung für dieses Doppelposting.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »