vektorieller Beweis zu Kreis und Tangente |
| 10.12.2008, 14:52 | StefanP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| vektorieller Beweis zu Kreis und Tangente in meiner Mathe GFS muss ich allgemein beweisen, dass der Radius einen Kreises orthogonal zu einer Tangente an einen Punkt B auf dem Kreis ist. Mein Lehrer meinte hierzu nur, dass es am einfachsten sei von einem Kreis auszugehen der seinen Mittelpunkt im Ursprung hat. Wichtig ist dass ich nicht davon ausgehen darf, dass der Winkel 90 Grad beträgt sondern ich muss mit Hilfe von Vektoren beweisen, dass hier eine Orthogonalität herrscht. Wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte. mfg Stefan |
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| 10.12.2008, 15:01 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Natürlich nicht - das sollst du ja gerade beweisen. 
Musst du es unbedingt vektoriell beweisen? Elementargeometrisch geht es viel schöner. 
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| 10.12.2008, 15:23 | StefanP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hey, muss es leider vektoriell beweisen. wäre schön wenn du dazu einen Idee hättest
mfg StefanP |
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| 10.12.2008, 16:49 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Mittelpunktsgleichung des Kreises ist Wir nehmen darauf einen Punkt T(x; y) an und bestimmen dort die Richtungsableitung (Steigung der Tangente): Ermittle daraus die Steigung y' der Tangente allgemein und somit auch den Richtungsvektor der Tangente. Der Vektor vom Mittelpunkt (O) zu T lautet (x; y). Zeige nun durch Skalarmultiplikation dieser beiden Vektoren, dass diese aufeinander senkrecht stehen. mY+ |
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| 10.12.2008, 17:06 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ StefanP Erst einmal müssen die Grundbegriffe geklärt werden, bevor es ans Rechnen geht. Das Wichtigste überhaupt ist: Was ist für dich eine Tangente? (Wir hier wissen natürlich alle, was eine Tangente ist. Aber hier geht es darum, wie du diesen Begriff in deiner Arbeit definiert hast. Und nur mit dieser Definition darfst du dann beim Beweis dieser Aussage arbeiten.) |
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| 10.12.2008, 17:30 | StefanP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo mythos, erst mal Vielen Dank für deine Erklärung. Als Steigung am Punkt T habe ich dann -x/y. Sehe ich das richtig das der Richtungsvektor der Tangente dann k*(-x/y) ist? @ Leopold In meiner Arbeit geht es um Kreise in der Ebene. Dazu musste ich eine Kreisgleichung herleiten und einfache Rechenbeispiele dazu vorführen. (Schneiden eines Kreisen mit einer Gerade) Um die Sache etwas anspruchsvoller zu machen verlangte mein Lehrer einen Beweis, der zeigt, dass der Radius zu einem Punkt auf dem Kreis orthogonal zur Tangente an diesem Punkt ist. mfg StefanP |
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| 10.12.2008, 18:12 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Richtungsvektor einer Geraden hängt mit deren Steigung wie folgt zusammen: wobei m die Steigung ist. Hier ist . Nun wirst du einen Richtungsvektor daraus erkennen, du kannst diesen beliebig verlängern, sodass kein Bruch mehr in dessen Komponenten steht. Der andere Vektor OT lautet sehr einfach Nun multipliziere die beiden skalar ... Wichtig bei diesem Beweis ist, dass du die Orthogonalität nicht von vornherein voraussetzen darfst. Deswegen wurde ja die Steigung der Tangente mittels der Differentialrechnung berechnet. mY+ |
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| 10.12.2008, 18:32 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meiner Ansicht nach hängt alles davon ab, was man unter einer Tangenten versteht. Das ist nämlich überhaupt kein elementarer Begriff. Und diese Antwort ist uns StefanP immer noch schuldig. Also: Gegeben sind ein Kreis k und eine Gerade g. Die Gerade g heißt Tangente von k, falls ... ??? |
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