Lagebeziehung Punkt-Ebene |
| 01.09.2006, 17:42 | Mathemagier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lagebeziehung Punkt-Ebene Ich habe folgendes Problem: Um den Abstand eines Punktes zu einer Ebene zu berechnen gibt es bekanntlich mehrere Lösungsansätze. In einem Schülervortrag soll ich nun einen weiteren beschreiben. Dazu habe ich folgende Aufgabenstellung bekommen: Für den Abstand d eines Punktes R (mit dem Ortsvektor r) von der Ebene E: (vektor x - vektor p) * normalenvektor = 0 gilt: d= |(vektor r - vektor p) * normalenvektor0| Aufgabe: Leiten Sie die Gleichung für die Berechnung des Abstandes her! Ich habe das Internet nun schon seit Stunden durchforstet aber keine wirkliche Skizze gefunden die mir die Herleitung ermöglicht o.Ä. Meine Frage nun an euch könnt ihr mir evtl. einen Denkanstoß in die richtige Richtugn geben? 
Mit freundlichen Grüßen Euer Mathemagier |
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| 01.09.2006, 19:08 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Ich hab dir mal ne kleine Skizze dazu gemacht. Ziel ist es hier ja, eine Gleichung für den Abstand d zwischen Punkt P und der Ebene E zu finden. Versuche mal zwei Gleichungen für den Winkel beta (den ich da versucht hab mit Paint einzuzeichnen...) zu finden. Benutze für die erste Gleichung: AK=Ankathete HY=Hypothenuse Benutze für die zweite Gleichung: Wenn du da geschafft hast, kannst du die rechten Seiten ja gleichsetzen und dann nach d auflösen. Zum Schluss musst du dir nur noch überlegen, was passiert wenn der Punkt R auf der anderen Seite der Ebene liegt (Vorzeichen). Wie kann man negative Abstände positiv machen ? Falls ich ausführlicher werden soll, bitte nochmal melden. Gruß Björn |
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| 01.09.2006, 19:35 | Mathemagier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey danke für die liebe Antwort, aber könntest du das nochmal ein bisschen ausführlicher erklären. Wäre dir sehr verbunden 
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| 01.09.2006, 19:36 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, gerne. Musst mir nur sagen an welcher Stelle ich noch was erklären soll. Gruß Björn |
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| 01.09.2006, 20:09 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
muss da nicht der normaleneinheitsvektor hin?
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| 01.09.2006, 20:13 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Worauf nimmst du da Bezug? Gruß Björn |
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| 01.09.2006, 20:19 | Mathemagier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie ich was gleichsetzen muss hab ich nicht ganz verstanden und wie du allgemein auf diesen Ansatz gekommen bist |
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| 01.09.2006, 20:27 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also auf den Ansatz komme ich halt mit Hilfe der Skizze und der Überlegung, wie man daraus jetzt irgendwie an das d kommen kann. In der Skizze kann man ja ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten PFR erkennen. In einem solchen Dreieck gelten ja bestimmte Seitenverhältnisse. Deswegen ergibt sich schon mal eine Gleichung für cos beta. Kannst du diese aufstellen? |
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| 02.09.2006, 12:27 | Mathemagier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mein Problem ist jetzt was ist der Punkt P in deiner Skizze ??? Ist das dann der Aufpunkt der Ebene??? MFG Der Mathemagier |
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| 02.09.2006, 12:29 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zum Beispiel. P ist irgendein Punkt der Ebene E. |
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| 02.09.2006, 12:33 | Mathemagier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also für deine erste Gleichung würde ich jetzt sagen: Wäre das richtig ? |
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| 02.09.2006, 12:39 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Denk dran, die Division für Vektoren ist nicht definiert. Du musst hier mit der Länge, also dem Betrag eines Vektors arbeiten. Ersetze die Strecke FR noch durch d, dann bin ich zufrieden 
Bin jetzt erstmal ein paar Stunden weg, schaue aber nachher nochmal im Forum vorbei. Gruß Björn |
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| 02.09.2006, 12:42 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist schon sehr geometrisch, daher: Verschoben |
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| 02.09.2006, 13:17 | Mathemagier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey, also ich glaube ich habs jetzt 
Ich bin jetzt wie folgt an die Sache rangegangen: 1. Gleichung 2. Gleichung daraus folgt folgendes: --> --> Ich hoffe ich hab das jetzt richtig gemacht 
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| 02.09.2006, 17:45 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So, da bin ich wieder. Na das sieht doch schon sehr gut aus
Es gilt noch als letzter Umformungsschritt: Wenn du einen Vektor durch seinen Betrag, also seine Länge dividierst, hat dieser Vektor somit die Länge 1 - man sagt auch er ist normiert. Du hast jetzt in deiner zweiten Gleichung immer schon mit dem normierten Normalenvektor gearbeitet. Das ist absolut richtig, jedoch nicht unbedingt notwendig. Man kann hier mit jedem Normalenvektor der Ebene E arbeiten. Damit würde auch am Ende folgen. Ansonsten hast du ja alles prima hinbekommen - die Betragstriche am Ende müssen eben für den Fall, dass der Punkt R auf der anderen Seite der Ebene liegt, und man somit einen negativen Wert für d erhalten würde, da sein. Ist das damit alles geklärt? Gruß Björn |
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| 02.09.2006, 18:55 | Mathemagier | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das mit dem normalen Vektor habe ich mir schon so gedacht... Dann wäre jetzt also alles geklärt 
Danke also für deine Hilfe
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| 02.09.2006, 18:56 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gern geschehen
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| 23.12.2006, 18:20 | tim taler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie kann ich die Strecke PR und den normierten Vektor no am Punkt P in diesem Beispiel genau berechnen? Wenn P =(2,3,4) wäre und R =(3,1,3) (vergleiche Beispiel Pyramide), wäre P somit ein Eckpunkt der Pyramidenfläche und R wäre der Schwerpunkt der Pyramide. Die Koordinaten der Pyramidenspitze lauten näherungsweise :-) OSP(5.683,2.342,3). Nun muss ich PR berechnen und den normierten Vektor am Punkt P. Bin ich soweit richtig? Viele Grüsse |
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| 23.12.2006, 23:17 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@tim taler Das ist nicht so gut, wieso hängst du hier in einem bestehenden Thread eine neue Frage an? Deine Pyramide wurde doch ohnehin auch in Pyramide behandelt... Oder wenn es eine neue Aufgabe sein sollte, mache doch ein neues Thema auf. mY+ |
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| 23.12.2006, 23:52 | tim taler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meine Frage bezieht sich auf die in diesem Thread gezeigte Skizze. Würde gerne wissen wie ich mit bestimmten Koordinaten vektoriell einen Abstand berechnen kann.(siehe Skizze) Habe dazu die Punkte von Besipiel der Pyramide gewählt weil dabei eine Höhe von 3 gegeben war und ich es somit leichter kontrollieren kann. Aber eine einfache Beispielaufgabe wo man Schritt für Schritt die vektorielle Berechnung einer Länge/ eines Abstandes darstellt reicht auch aus. |
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| 24.12.2006, 00:36 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wozu brauchst du die Strecke PR? Ich nehme doch an, du willst herausbekommen, dass RS = 3 ist. Wie dem auch sei: Die Länge eines Vektors ist einfach der Betrag dieses Vektors! Da du nun S und R kennst, ist hier NICHTS zu normieren, sondern lediglich die Distanz RS zu bestimmen. Die Länge RS ist der gesuchte Abstand (h = 3). Dein Problem scheint (immer noch) die Umkehrung zu sein: Auf einer Geraden, die den Punkt R enthält und den Richtungsvektor (2;1;0) besitzt ((6;3,0) kann nämlich so abgekürzt werden!), ist auf beiden Seiten die Distanz h = 3 zu den Punkten S1, S2 abzutragen. Bestimme S1, S2. Hier muss der Richtungsvektor der Geraden auf die Länge 1 gebracht (normiert) und dann mit 3 multipliziert werden, usw. Dieser Sachverhalt wurde aber im ggst. Pyramidenthread ausführlich erklärt. Also müsste doch eigentlich alles soweit geklärt sein, oder nicht? Und ja: Ich bin immer noch der Ansicht, dass die Frage hier fehl am Platz ist, du hättest dies im Pyramidenthread weiterführen sollen, aber da hattest du wohl keine Antwort erwartet ... mY+ |
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| 24.12.2006, 09:44 | tim taler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok das mit dem Betrag ist angekommen, danke. Und was soll jetzt RS sein bzw R und S? Beziehen wir uns doch auf die Skizze von Bjoern. Können wir diese drei Punkt (P,F und R) nicht mit beliebigen Koordinaten belegen und so versuchen den Absatnd zu bestimmen. Könnte es mir dann besser vorstellen... |
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| 24.12.2006, 12:20 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na dann tu das doch bzw. versuche es! Was R, S sein sollen? Das sind doch die von dir angegeben Punkte. R ist dein Schwerpunkt, S ist deine Spitze, deren Distanz ist 3.
Ich weiss eigentlich nicht, was du willst. Bitte formuliere deine Frage nochmals ganz konkret, von A bis Z, und sieh nach, ob es nicht schon im anderen Thread beantwortet wurde, sonst wird das hier eine unendliche Geschichte. mY+ |
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| 24.12.2006, 13:17 | tim taler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich formuliere mal so verständlich als möglich... Ok, bekannt ist also Punkt R(Schwerpunkt) und Punkt S(Spitze). -->R(3,1,3) -->S(5.683,2.342,3) Zudem bekannt Punkt P. -->P(2,3,4) gesucht ist die Länge d zwischen den Punkten R und S. Was soll ich nun als erstes tun um mir aus den gegeben Raumkoordinaten die dazwischen liegenden Abstände zu ermitteln? Hoffe wir kommen so schneller zum Ziel. |
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| 24.12.2006, 15:36 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das sagte ich doch wiederholt schon, wenn beide Punkte R, S bekannt sind, brauchst doch bloss nur noch die Distanzformel, also den Vektors RS und von diesem den Betrag. Das isses! Was macht dabei der Punkt P?? mY+ Ich geh' jetzt Weihnachten feiern, auch dir eine schöne Bescherung! Ich schaue aber abends sicher wieder rein. mY+ |
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| 24.12.2006, 15:59 | tim taler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, na dann mal gutes gelingen und auch eine schöne Bescherung!!! Ok ich versuche es. Vektor RS=(OS - OR) (O=Ortsvektor) anschliessend Betrag von RS und siehe da ... es wird 3 . Na Gott sei Dank
Danke für die Hilfe. Frohes Fest!!! |
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