BWM 2. Runde

Neue Frage »

01.09.2006, 17:46	Lucahe	Auf diesen Beitrag antworten »
BWM 2. Runde Moin moin! Die 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik neigt sich dem Ende zu. (Heute ist der letzte Tag zum abgeben.) Deshalb bin ich ein bischen Neugierig, wer aus dem Board hat dran teil genommen? wenn ja, habt ihr alle Aufgaben gelöst? wie fandet ihr die Aufgaben im allgemeinen? etc. Also ich selbst hab das erste mal teilgenommen, hab auch eine Lösung zu jeder Aufgabe gefunden und hoffe auch, dass ich keinen Fehler (jedenfalls keinen großen) gemacht hab. Ich empfand die Aufgaben allerdings als verdammt schwer. In der Schule macht man ja nichts vergleichbares. PS: Da der Wettbewerb noch nicht ganz zu Ende ist, sollte meiner Meinung nach jeder allzu genauer Kommentar zu den Aufgaben auf morgen verschoben werden.
01.09.2006, 19:43	PK	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich hab dran teilgenommen, hab aber nur 2 Aufgaben richtig gelöst, hatte auch wegen der Arbeit nicht so viel Zeit, mich richtig dran zu setzen. Fand die Aufgaben auch eher schwer, aber sie waren bestimmt lösbar, ich hatte wohl mehrere Bretter vor dem Kopf.
03.09.2006, 21:01	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt kann ich mal meinen Mist dazu sagen Ich fand erst Mal, dass die Aufgaben viel leichter waren als letztes Jahr und ich alles rausbekommen habe, auch wenn es wieder dran gescheitert sein wird es aufzuschreiben.
04.09.2006, 13:24	Bobo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann mich sciencefreak nur anschließen. Letztes Mal hab ich kläglich versagt. Jetzt hab ich zu allen Aufgaben Lösungen. Allerdings kann es immer noch an der Formulierung scheitern. Die ist an manchen Stellen recht unsauber. Aber ich hab ein recht gutes Gefühl dabei.
04.09.2006, 23:23	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer hat sich eigentlich ausgedacht, dass man keine PDF-Dokumente anhängen kann? Finde gerade nichts zum Zippen . Ansonsten hätte ich euch mit meiner unverständlichen Lösung erschreckt
04.09.2006, 23:33	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du irrst, das müsste eigentlich gehen. Vielleicht überschreitet es nur die zulässige Maximalgröße? Hast wohl zuviele Bilder drin? Kann nicht beurteilen, ob das nötig ist, da ich nicht mal die Aufgaben kenne.
Anzeige

04.09.2006, 23:49	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kann ich Abhilfe schaffen (Jetzt darf man das schon oder? wenn nein, bitte schnell Bescheid geben oder wegmachen!) Aufgabe 1: Ein Kreis sei in $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ kongruente Sektoren eingeteilt, von denen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ schwarz und die übrigen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ weiß gefärbt sind. Die weißen Sektoren werden, irgendwo beginnend, im Uhrzeigersinn mit $\begin{eqnarray} 1, 2, 3, ... n \end{eqnarray}$ nummeriert. Danach werden die schwarzen Sektoren, irgendwo beginnend, gegen den Uhrzeigersinn mit $\begin{eqnarray} 1, 2, 3, ... n \end{eqnarray}$ nummeriert. Man beweise, dass es $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ aufeinander folgende Sektoren gibt, in denen die Zahlen $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ stehen. Aufgabe 2: Man bestimme alle reellwertigen FUnktionen f, die auf der Menge der positiven rationalen Zahlen definiert sind, dort positive Funktionswerte besitzen und die die Gleichung $\begin{eqnarray} f(x) + f(y) + 2xy \cdot f(xy) = \frac{f(xy)}{f(x+y)} \end{eqnarray}$ für alle positiven rationalen x,y erfüllen Aufgabe 3: Gegeben seien ein spitzwinkliges Dreieck ABC und ein beliebiger Punkt P im Innern des Dreiecks. Die Lotfußpunkte von P auf die Seiten AB, BC und CA seien C', A' bzw. B'. Bei welchen Lagen von P gelten $\begin{eqnarray} \angle{BAC} = \angle{B'A'C'} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \angle{CBA} = \angle{C'B'A'} \end{eqnarray}$ ? Aufgabe 4: Eine positive ganz Zahl heiße "ziffernreduziert", wenn in ihrer Dezimaldarstellung höchstens neu verschiedene Ziffern vorkommen. (Dabei werden führende Nullen nicht berücksichtigt) Es sei $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ eine endliche Menge ziffernreduzierter Zahlen. Man beweise, dass die Summe der Kehrwerte der Zahlen aus $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ kleiner als $\begin{eqnarray} 180 \end{eqnarray}$ ist. Ich persönlich habe nicht teilgenommen. EDIT by therisen: Habe die Aufgabe 3 hinzugefügt
05.09.2006, 00:06	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 4 ist eine schöne Variation einer bekannten Aufgabe. Mit den 180 haben sie sich sehr großzügig gezeigt, selbst mit einer relativ groben Abschätzung kommt man auf unter 105.
05.09.2006, 06:19	PK	Auf diesen Beitrag antworten »
hm... mich würde da mal die Lösung interessieren oder eure Ansätze.
05.09.2006, 11:32	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich will ja nicht alles verraten, aber die Kernidee meiner Abschätzung ist, dass von den $\begin{eqnarray} \left( 10^k-10^{k-1} \right) \end{eqnarray}$ k-stelligen Dezimalzahlen höchstens $\begin{eqnarray} 10\cdot 9^k \end{eqnarray}$ Zahlen die geforderte Zifferneigenschaft aufweisen. Für kleine $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist diese Abschätzung nicht zu gebrauchen, für große dagegen schon. Was mich interessieren würde, ob jemand eine kurze elegante Lösung der 2.Aufgabe (Funktionalgleichung) gefunden hat. Meine eigenen Überlegungen führen zwar klar strukturiert zu einer Lösung, aber im Detail ist das dann etwas nervend länglich.
05.09.2006, 16:41	Lucahe	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum komme ich eigentlich nie auf solche einfachen Abschätzungen? Das find ich jetzt echt deprimierend. Ich hab ewig gebraucht, um da einen vernünftigen Wert rauszubekommen. Aber immerhin kann ich jetzt eindeutig sagen, dass es genau $\begin{eqnarray} 99!\sum_{j=0}^{10}\left(-1\right)^{j}\frac{j^{k}}{j!(10-j)!} \end{eqnarray}$ k-stellige Dezimalzahlen gibt, die nicht-ziffernreduziert sind.
05.09.2006, 17:34	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, richtig gerechnet. Hoffentlich hast du auf dem Weg dahin nicht zuviel Nerven gelassen, denn mit der Siebformel folgt auch das ziemlich schnell: Anzahl surjektiver Funktionen Im vorliegenden Fall ist natürlich noch zu beachten, dass führende Nullen "verboten" werden müssen, deswegen der zusätzliche Faktor 9/10.
05.09.2006, 23:52	PK	Auf diesen Beitrag antworten »
das mit der Abschätzung hatte ich auch im Kopf, hab mich aber wegen meinem mangelnden Wissen um die Formalitäten immer irgendwo verhaspelt. Weil es ja offensichtlich ist, dass der Anteil der Zahlen mit der Eigenschaft abnimmt.
06.09.2006, 12:30	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben aus dem Off-topic heraus - es geht ja um Mathematik. Meine Kurzeinschätzung der Aufgaben: Aufgabe 1: Mittelschwere Kombinatorikaufgabe, es besteht m.E. massiv Gefahr, gewisse Fälle zu übersehen. Naheliegend ist ein Induktionsbeweis, aber vielleicht geht es auch anders. Aufgabe 2: Sehr geradlinig durchziehbar, zunächst natürliche Zahlen (Induktionsbeweis), dann rationale Zahlen. Bei mir am Ende etwas länglich. Aufgabe 3: Einfach, dass der Umkreismittelpunkt die Eigenschaft erfüllt. Etwas schwerer der Nachweis, dass es keine weiteren gibt. Aufgabe 4: Da wird es eine Vielzahl von Abschätzungsvarianten geben, aber alle werden irgendwie zwischen niedrigen Stellenzahlen (dort Logarithmenabschätzung) und hohen Stellenzahlen (dort Bändigung durch geometrische Reihe) unterscheiden.
07.09.2006, 00:37	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ein gezipptes pdf-Dokument Also 1. fand ich ganz leicht auf eine Idee zu kommen aber das mit dem Aufschreiben ist mir nicht so geglückt. 2.Ja sehr laaannnnnngggggg 3.Es gibt einen schöneren Nachweiß als meinen, und es fehlen die Skizzen, wlche ich per Hand dazugemalt hatte einfacher Beweis(PA=PB=PC, da erweiterter Sinussatz und Umkehrung das Thaleskreises mölich ist) 4.Nicht sonderlich Schöne aber vollkommen ausreichende Abschätzung
07.09.2006, 19:08	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm, deine Lösung bei (2) ist dann auch nicht kürzer als meine. Bis zu den natürlichen Zahlen würde ich genauso vorgehen, dann aber folgendermaßen: Seien $\begin{eqnarray} p,q \end{eqnarray}$ beliebige natürliche Zahlen, und $\begin{eqnarray} r=\frac{p}{q} \end{eqnarray}$ . Dann folgt durch Einsetzen von $\begin{eqnarray} x=r,y=q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=r,y=2q \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} x=r+q,y=q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(r) + f(q)+2rq\cdot f(rq) &=& \frac{f(rq)}{f(r+q)}\\ f(r) + f(2q)+4rq\cdot f(2rq) &=& \frac{f(2rq)}{f(r+2q)}\\ f(r+q) + f(q)+2q(r+q)\cdot f(q(r+q)) &=& \frac{f(q(r+q))}{f(r+2q)} \end{eqnarray}$ Das ist ein Gleichungssystem für die drei Variablen $\begin{eqnarray} f(r),f(r+q),f(r+2q) \end{eqnarray}$ , denn alle anderen Funktionsaufrufe haben positiv ganzzahlige Argumente, d.h., dort kann man das bereits nachgewiesene $\begin{eqnarray} f(n)=\frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ einsetzen. Am Ende kommt - was für eine Überraschung - die Lösung $\begin{eqnarray} f(r)=\frac{1}{r^2} \end{eqnarray}$ heraus. P.S.: Deine Lösungsidee zu Aufgabe (1) ist wirklich Klasse, viel einfacher als die von mir kurz angedachte. Aber beim Versuch, den letzten Satz des zweiten Absatzes deiner Lösung zu verstehen, musste ich unwillkürlich an Mark Twains Essay Die schreckliche deutsche Sprache denken. Etwas einfacher konstruierte Sätze hätten das Verständnis wirklich deutlich erleichtert.

Neue Frage »

Antworten »

BWM 2. Runde

Verwandte Themen