K-Vektorraum / Beweis

10.12.2008, 18:04

Svenja1986

K-Vektorraum / Beweis

Hey

Hier erstmal die Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum. Beweisen Sie, dass

$\begin{eqnarray*} \forall \lambda \in K \forall v \in V: (- \lambda ) \cdot v = \lambda \cdot (-v) = - \lambda \cdot v \end{eqnarray*}$

woraus insbesondere folgt

$\begin{eqnarray*} \forall v \in V : (-1) \cdot v = -v \end{eqnarray*}$

Naja, irgendwie weiß ich gar nicht, wie ich den Beweis machen soll.
Soll ich die Vektorraumaxiome anwenden...? verwirrt

Vielen Dank für Hilfe.

10.12.2008, 18:41

Reksilat

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RE: K-Vektorraum / Beweis
Vektorraumaxiome sind doch schon mal eine Idee. Augenzwinkern

Wichtig ist es hier, zu verstehen, wofür die einzelnen Vekotoren stehen:

$\begin{eqnarray*} -(\lambda\cdot v) \end{eqnarray*}$
Ist das additive Inverse zu $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot v \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} -\lambda\cdot v+\lambda\cdot v=0 \end{eqnarray*}$ (Nullvektor)

$\begin{eqnarray*} \lambda\cdot(-v) \end{eqnarray*}$
Ist das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -fache von $\begin{eqnarray*} -v \end{eqnarray*}$ . Es ist $\begin{eqnarray*} (-v)+v=0 \end{eqnarray*}$ (Nullvektor)

$\begin{eqnarray*} (-\lambda)\cdot v \end{eqnarray*}$
Ist das $\begin{eqnarray*} (-\lambda) \end{eqnarray*}$ -fache von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ . Es ist $\begin{eqnarray*} -\lambda+\lambda=0 \end{eqnarray*}$ (Körperelement)

Jetzt musst Du vor allem Distributivität und die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} 0_K\cdot v=k\cdot 0_V=0_V \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v\in V,\, k\in K \end{eqnarray*}$ nutzen.

11.12.2008, 18:09

Svenja1986

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RE: K-Vektorraum / Beweis
Irgendwie komme ich nicht so recht weiter.

Zitat:

Original von Reksilat
Vektorraumaxiome sind doch schon mal eine Idee. Augenzwinkern

Ich weiß nicht, wie ich die hier anwenden kann.

Zitat:

Original von Reksilat
Jetzt musst Du vor allem Distributivität und die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} 0_K\cdot v=k\cdot 0_V=0_V \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v\in V,\, k\in K \end{eqnarray*}$ nutzen.

Da habe ich einfach mal folgendes ausprobiert (wobei hier ja nur Assoziativität genutzt wird):

$\begin{eqnarray*} ( - \lambda + \lambda) \cdot v = 0_v = \lambda \cdot (-v + v) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - \lambda v+ \lambda v = 0_v = - \lambda v + \lambda v \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0_v = 0_v = 0_v \end{eqnarray*}$

11.12.2008, 18:20

Reksilat

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RE: K-Vektorraum / Beweis

Zitat:

Original von Svenja1986
Da habe ich einfach mal folgendes ausprobiert (wobei hier ja nur Assoziativität genutzt wird):
$\begin{eqnarray*} ( - \lambda + \lambda) \cdot v = 0_v = \lambda \cdot (-v + v) \end{eqnarray*}$

Das sieht doch gut aus, wende doch auf die linke und die rechte Seite mal die Distributivität an.
(Wo hast Du hier eigentlich die Assoziativität verwendet?)

Edit: Ich hoffe, dass die Beziehung $\begin{eqnarray*} 0_K\cdot v=\lambda\cdot 0_V=0_V \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt werden darf. Müsste man ja sonst auch noch zeigen.

11.12.2008, 20:33

Svenja1986

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RE: K-Vektorraum / Beweis

Zitat:

Original von Reksilat
Das sieht doch gut aus, wende doch auf die linke und die rechte Seite mal die Distributivität an.

$\begin{eqnarray*} ( - \lambda + \lambda) \cdot v = 0_v = \lambda \cdot (-v + v) \end{eqnarray*}$

Linke Seite:
$\begin{eqnarray*} ( - \lambda + \lambda) \cdot v = - \lambda v + \lambda v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v \cdot ( - \lambda + \lambda) = - \lambda v + \lambda v \end{eqnarray*}$

Rechte Seite:
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot (-v + v) = - \lambda v + \lambda v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-v + v) \cdot \lambda = - \lambda v + \lambda v \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Reksilat
Edit: Ich hoffe, dass die Beziehung $\begin{eqnarray*} 0_K\cdot v=\lambda\cdot 0_V=0_V \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt werden darf. Müsste man ja sonst auch noch zeigen.

Ja, darf vorausgesetzt werden smile

Steht im Skript.

11.12.2008, 20:41

Reksilat

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RE: K-Vektorraum / Beweis

Zitat:

Linke Seite:
$\begin{eqnarray*} ( - \lambda + \lambda) \cdot v = - \lambda v + \lambda v \end{eqnarray*}$

Nein, hier wendest Du ja schon das an, was gezeigt werden soll.
Es ist $\begin{eqnarray*} (-\lambda +\lambda)\cdot v=(-\lambda)\cdot v+\lambda\cdot v \end{eqnarray*}$

Mach das auf der rechten Seite ebenso, dann solltest Du was sehen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} v \cdot ( - \lambda + \lambda) = - \lambda v + \lambda v \end{eqnarray*}$

Das Skalarprodukt ist nur von einer Seite definiert. Das hier ist Unfug.

Diese Aufgabe erfordert es, wirklich alles sehr sehr genau zu nehmen. Also wirklich nur exakt nach den Axiomen rechnen.

11.12.2008, 20:51

Svenja1986

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RE: K-Vektorraum / Beweis
Linke Seite:
$\begin{eqnarray*} ( - \lambda + \lambda) \cdot v = (- \lambda) \cdot v + \lambda \cdot v \end{eqnarray*}$

Rechte Seite:
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot (-v + v) = \lambda \cdot (-v) + \lambda \cdot v \end{eqnarray*}$

Also so? smile

11.12.2008, 20:53

Reksilat

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RE: K-Vektorraum / Beweis
Und was können wir daraus ablesen?
Nicht immer alles einzeln aus der Nase ziehen lassen. Hopp, hopp!

11.12.2008, 21:57

Svenja1986

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Man kann sehen, dass sich $\begin{eqnarray*} (- \lambda) \cdot v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot (-v) \end{eqnarray*}$ hier so verhalten, wie das additiv Inverse.

11.12.2008, 22:02

Reksilat

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...wie das additiv Inverse zu $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot v \end{eqnarray*}$ , ja.

Du kannst auch links und rechts jeweils $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot v \end{eqnarray*}$ abziehen (also $\begin{eqnarray*} -(\lambda\cdot v) \end{eqnarray*}$ addieren), damit Gleichheit gilt.

Eigentlich steht die Lösung ja jetzt da, wenn auch über den ganzen Thread verteilt. Noch Fragen?

11.12.2008, 22:04

Svenja1986

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Nee, alles verstanden smile

Danke

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