Bedingte Erwartungen

Neue Frage »

10.12.2008, 19:05	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Erwartungen Guten Abend, Sei $\begin{eqnarray} ([-2,2]\mathcal B([-2,2]), \frac{1}{4}\lambda_{[-2,2]}) \end{eqnarray}$ ein W-Raum und $\begin{eqnarray} X(\omega)=\omega \end{eqnarray}$ . Betrachte die Teil-Sigma-Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal A=\sigma([-2,-1),[-1,1),[1,2]) \end{eqnarray}$ . Bestimme eine Version von $\begin{eqnarray} E[X\|\mathcal A] \end{eqnarray}$ . Also hier habe ich so meine Probleme. Weiß ehrlich gesagt nicht genau, was ich hier zu erst tun könnte. Gruß
10.12.2008, 19:17	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Erwartungen Für diskrete Sigma-Algebren (d.h. mit abzählbarem Erzeuger) ist die Sache ziemlich einfach: Für die bedingte Erwartung $\begin{eqnarray} Y = E[X\|\mathcal A] \end{eqnarray}$ müssen zwei Dinge gelten: (1) $\begin{eqnarray} \int\limits_A ~ Y ~ \dd P = \int\limits_A ~ X ~ \dd P \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} A\in\mathcal A \end{eqnarray}$ , es reicht aber, es für die Erzeuger von $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ nachzuweisen. (2) $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ muss $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ -messbar sein. In dem hier betrachteten diskreten Fall heißt das nichts weiter, als dass $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ auf den atomaren Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ (d.h. innerhalb $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ nicht weiter zerlegbaren Mengen) konstant sein muss. Beides kombiniert ermöglicht die Berechnung von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . P.S.: Mir hat es immer geholfen, die bedingte Erwartung bildlich als "Vergröberung" vorzustellen: Man nimmt die ursprüngliche Zufallsgröße, zerhackt den ehemals feinen Grundraum in gröbere Brocken, mittelt dann die Zufallsgröße über jeden dieser Brocken und weist jedem Brocken dann seinen Mittelwert zu - das ist die bedingte Erwartung.
10.12.2008, 22:09	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Information. Die Definition schaue ich mir morgen noch genauer an und versuche es dann nochmal. Zue bedingte Erwartung: Ich dachte eher, dass man den Erwartungswert wissen möchte unter der Bedingung, dass ein gewisses Ereignis schon eingetreten ist. Kann mir das ganz gut mit dem Würfel vorstellen. Nehmen wir einen Würfel und wir haben die Info bekommen, es wurde eine gerade Zahl geworfen. Was ist nun der Erwartungswert? Sicherlich nicht mehr 3,5 da ja Zahlen wie 1,3,5 die Wahrscheinlichkeit 0 haben. Folglich ist der Erwartungswert 4. Deine Beschreibung triffts wohl am besten im stetigen Fall. Gefällt mir
10.12.2008, 22:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Um es mal ganz konkret hier umzusetzen: Für die drei atomaren Mengen $\begin{eqnarray} A_1 =[-2,-1),\quad A_2=[-1,1),\quad A_3=[1,2] \end{eqnarray}$ der Sigma-Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ ist schlicht und einfach $\begin{eqnarray} E[X\|\mathcal A](\omega') = \frac{1}{P(A_k)} \int\limits_{A_k} ~ X(\omega) ~ \dd P(\omega) = \frac{1}{\lambda(A_k)} \int\limits_{A_k} ~ \omega ~ \dd \omega \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \omega'\in A_k \end{eqnarray}$ , was man dann noch konkret ausrechnen kann.
12.12.2008, 18:06	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube $\begin{eqnarray} E[X\|\mathcal A] \end{eqnarray}$ ist die Summe von den Erwartungswerten mulitipliziert mit Indikatorfunktionen oder nicht? Für die Erwartungswerte auf den einzelnen Mengen bekomme ich -1,5 ; 0; 1,5 Diese dann multipliziert mit den Indikatorfunktionen der jeweiligen Mengen des Erzeugers ergibt dann den bedingten Erwartungswerst $\begin{eqnarray} E[X\|\mathcal A] \end{eqnarray}$ Ist das richtig formuliert?
12.12.2008, 22:43	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine etwas ausführlichere Antwort. Ich habe die Erwartungswerte berechnet: $\begin{eqnarray} E_1[X]=\int_{\Omega}X(\omega)P_{A_1}(d\omega)=\int_{-2}^{-1}\omega d\omega =-\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E_2[X]=\int_{\Omega}X(\omega)P_{A_2}(d\omega)=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\omega d\omega =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E_3[X]=\int_{\Omega}X(\omega)P_{A_3}(d\omega)=\int_{1}^{2}\omega d\omega=\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} E[X\| \mathcal A] \end{eqnarray}$ erhalte ich somit: $\begin{eqnarray} E[X\| \mathcal A](\omega)=-\frac{3}{2}\cdot 1_{[-2,-1)}(\omega)+\frac{3}{2}\cdot 1_{[1,2]}(\omega) \end{eqnarray}$ Somit werden auch die von dir genannten Bedingungen in deinem ersten Beitrag erfüllt. Das habe ich soeben nochmal nachgerechnet. Passt das so? Danke und schönen Gruß
Anzeige

12.12.2008, 22:50	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt genau.
13.12.2008, 10:46	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine kleine Wissensfrage bleibt dann doch noch: Nehemen wir $\begin{eqnarray} E_3[X]=\int_{\Omega}X(\omega)P_{A_3}(d\omega)=\int_{1}^{2}\omega d\omega=\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ Dies ist der Erwartungswert unter der Bedingung, dass $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ einen Wert im Intervall $\begin{eqnarray} [1,2] \end{eqnarray}$ angenommen hat. Aber was genau sagt mir nun dieses Konstrukt: $\begin{eqnarray} E[X\| \mathcal A](\omega)=-\frac{3}{2}\cdot 1_{[-2,-1)}(\omega)+\frac{3}{2}\cdot 1_{[1,2]}(\omega) \end{eqnarray}$ Angenommen $\begin{eqnarray} \omega=2 \end{eqnarray}$ , dann ist der zweite Indikator eins und der erste Null und man erhält: $\begin{eqnarray} E[X\| \mathcal A](\omega)=\frac{3}{2} \end{eqnarray}$ . Das ist dann wieder der bedingte Erwartungswert,weil ich nun weiß, dass genau diese Menge meiner Sigma-Algebra "getroffen" wurde und die anderen beiden nicht. Ich glaub so müsste es richtig sein.
13.12.2008, 11:25	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es. Es gibt ja auch die Schreibweise $\begin{eqnarray} E[X \bigm\| Z] \end{eqnarray}$ mit Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ , was nur eine Kurzform von $\begin{eqnarray} E[X \bigm\| \sigma(Z)] \end{eqnarray}$ ist. Und für die gilt folgendes: Es gibt eine reelle, deterministische Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} E[X \bigm\| Z] = g(Z)\quad P\mbox{-f.s.} \end{eqnarray}$ , oder ausführlich $\begin{eqnarray} E[X \bigm\| Z](\omega) = g(Z(\omega)) \end{eqnarray}$ für fast alle $\begin{eqnarray} \omega\in\Omega \end{eqnarray}$ . Im diskreten Fall wird aus dem "fast alle" natürlich eine "alle". Für diese Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ gibt es im diskreten Fall auch die Interpretation $\begin{eqnarray} g(z) = E[X \bigm\| Z=z] \end{eqnarray}$ , was etwa für Indikatorfunktionen $\begin{eqnarray} X=1_A \end{eqnarray}$ nichts weiter als $\begin{eqnarray} g(z) = E[1_A \bigm\| Z=z] = P(A \bigm\| Z=z) = \frac{P(A \cap [Z=z])}{P(Z=z)} \end{eqnarray}$ entsprechend der klassischen Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit bedeutet. ----------------- Der Sinn der zunächst kompliziert erscheinenden allgemeinen Definition der bedingten Erwartung erschließt sich erst im nichtdiskreten Fall: Da ist eine Definiton $\begin{eqnarray} P(A \bigm\| Z=z) := \frac{P(A \cap [Z=z])}{P(Z=z)} \end{eqnarray}$ z.B. bei stetigen Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ nicht möglich, da das einer Division 0/0 entsprechen würde. Aber über die bedingte Erwartung ist es möglich, indem man einfach $\begin{eqnarray} P(A \bigm\| Z=z) := E[1_A \bigm\| Z](\omega) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Z(\omega)=z \end{eqnarray}$ definiert! Und wie oben gesehen, entspricht diese anderere Definition im diskreten Spezialfall der klassischen Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit.
13.12.2008, 13:52	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Info. Das Konstrukt der bedingten Erwartung scheint ziemlich komplex zu sein. Der Professor hält es neben der stochastischen Analysis für das schwierigste Kapitel in dem zweisemstrigen Zyklus der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Neue Frage »

Antworten »

Bedingte Erwartungen

Verwandte Themen