Konvergenz

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Konvergenz
Hallo
Hab da ne aufgabe zu lösen und weiß nicht so recht wie. die aufgabe lautet:
Es sei eine Folge in K mit (n E N). Beweisen Sie: Ist konvergent, so ist auch konvergent mit

Kann mir da jemand weiterhelfen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz
Zunächst mal muss überall, wo du geschrieben hast tatsächlich stehen - soviel zum LaTeX.

Zum Beweis: Sei . Offenbar ist .

Der Fall ist extra zu behandeln, ich rede im folgenden mal nur vom Fall :

Dann gibt es für jedes mit einen Index , so dass die Doppelungleichung

für alle

gilt. Über Induktion folgt unmittelbar

für alle .

Das sollte beim Beweis helfen, wenn du mal etwas drüber nachdenkst und noch ein bissel rechnest...

Der Fall läuft ein wenig anders, weil die Abschätzung links wegfällt. Aber wesentlich anders ist das auch nicht.
imag Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz
Danke für den Hinweis. Ist mir auch soweit klar. Hab jetzt nur ein paar probleme von der Doppelungleichung
für alle

über Induktion auf diese Ungleichung zu kommen.

für alle .

für alle
das ist doch meine Induktionsannahme oder?
imag Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz
Also wie ich durch Induktion auf diese ungleichung komme ist mir noch nicht klar. kann mir da vllt jemand helfen?

für alle .

Aber diese gleichung kann ich doch um formen zu:
für alle
für alle
oder geht das so? aber wie komme ich jetzt auf mein ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von imag
Also wie ich durch Induktion auf diese ungleichung komme ist mir noch nicht klar.

Mit vollständiger Induktion "kommt" man nicht auf diese Ungleichung - man beweist sie damit. Und dieser Beweis ist eine Mücke, die du hier bitte nicht zum Elefanten aufblasen solltest, sondern mal konzentriert selber angehst - das ist Gymnasialniveau.

------------------------------------

Im weiteren hatte ich eigentlich eher direkt an

für alle

gedacht, denn was da links und rechts unter der -ten Wurzel steht, sind bzgl. lediglich positive Konstanten. Und für solche positiven Konstanten gilt ja

,

was man dann im weiteren nutzen kann.

------------------------------------

Jetzt aber los, mal etwas Eigeninitiative! Ich bin ja auch gar nicht sauer, wenn du einen ganz anderen Weg verfolgst, aber bitte mach auch mal ein paar Schritte selbständig.
imag Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe die Ungleichung mit vollständiger Induktion bewiesen.

und soweit wäre ich jetzt:
für alle


dieser teil der ungleichung konvergiert dann wegen der oben genannten bedingung gegen 1 für n gegen unendlich
genauso wie dieser teil auch
d.h. es bleibt übrig

 
 
imag Auf diesen Beitrag antworten »

zum letzten eintrag: unter der wurzel das imuss nur n sein, nicht n 0
für beliebig:

das müsste doch jetzt so stimmen oder?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von imag
zum letzten eintrag: unter der wurzel das imuss nur n sein, nicht n 0

Du kannst doch nicht einfach so willkürlich das durch ein ersetzen!

Zitat:
Original von imag

Links und rechts lässt du gegen unendlich laufen, aber in der Mitte nicht? So geht das nicht!

Zitat:
Original von imag
für beliebig:

Und woher weißt du, dass dieser Grenzwert überhaupt existiert?
imag Auf diesen Beitrag antworten »

das war ein tippfehler. da muss natürlich n hin. hatte ich aber dazugeschrieben, weil ich es zuspät gemerkt habe!
und das der grenzwert existiert habe ich aus einem satz aus meinem skript geschlossen. der so lautet:
genau dann wenn: für alle gilt für n genügend groß.
und
genau dann wenn: für alle gilt für n genügend groß.
darf ich das so verwenden?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von imag
genau dann wenn: für alle gilt für n genügend groß.
und
genau dann wenn: für alle gilt für n genügend groß.
darf ich das so verwenden?

Als zwei Einzelaussagen betrachtet sind die beiden falsch:

Aus "für alle gilt für n genügend groß" kann allenfalls auf



geschlossen werden. Aber zusammen mit der entsprechenden Aussage für den Limes inferior reicht das ja auch. Augenzwinkern
imag Auf diesen Beitrag antworten »

also müsste ich die beiden aussagen zusammenfassen mit der entsprechenden aussage für den limes inferior. und das würde dann stimmen?
dann hätte ich doch die behauptung bewiesen oder?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das alles nochmal ordentlich hinschreibst, dann passt es so.
imag Auf diesen Beitrag antworten »

ja klar. vielen dank für die hilfe!
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