Invertierbar

10.12.2008, 23:12

energyfull

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Invertierbar

hallo kann mir einer bei folgender aufgabe helfen:

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in Mat(2,\mathbb Q) \end{eqnarray*}$

das ist eine 2x2 Matrix mit ganzzahligen einträgen a,b,c,d $\begin{eqnarray*} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

für jede primzahl p>0 sei

$\begin{eqnarray*} A_p= \begin{pmatrix} [a] & [b] \\ [c] & [d] \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die matrix, die entsteht, wenn man die einträge von A modulo p nimmt.

man nimmt nun an, das $\begin{eqnarray*} A \in Mat (2, \mathbb Q ) \end{eqnarray*}$ invertierbar ist. ich soll beweisen, dass dann $\begin{eqnarray*} A_p \in Mat (2, \mathbb F_p) \end{eqnarray*}$ für fast alle primzahlen p>0 invertierbar sind.

11.12.2008, 16:06

Reksilat

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RE: Invertierbar
Wann ist denn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ invertierbar?

11.12.2008, 19:37

energyfull

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also A ist invertierbar genau dann wenn:

$\begin{eqnarray*} ad- bc\neq 0 \end{eqnarray*}$

also gilt das dann auch für $\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ ist invertierbar genau dann wenn

$\begin{eqnarray*} [ad]- [bc]\neq 0 \end{eqnarray*}$

??

wenn ja wie beweis ich das

11.12.2008, 20:27

Reksilat

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Wenn $\begin{eqnarray*} ad-bc\equiv 0({\rm mod}\, p) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} [ad]=[bc] \end{eqnarray*}$ , dann ist
$\begin{eqnarray*} [d]\cdot\begin{pmatrix}[a]\\ [c]\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}[ad] \\ [cd]\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}[bc]\\ [cd]\end{pmatrix}=[c]\cdot\begin{pmatrix}[b]\\ [d]\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und die Spalten sind somit linear abhängig, die Matrix nicht invertierbar. Wenn dagegen $\begin{eqnarray*} ad-bc\not\equiv 0({\rm mod}\, p) \end{eqnarray*}$ gilt, kann man eine Inverse angeben...

Also ist $\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ genau dann invertierbar, wenn $\begin{eqnarray*} [ad]-[bc]\neq [0] \end{eqnarray*}$

11.12.2008, 20:42

energyfull

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ist das jetzt so fertig??

11.12.2008, 20:51

Reksilat

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Nö, wieso?

Du weißt jetzt lediglich wann $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ invertierbar sind. Das sind allerdings perfekte Voraussetzungen, um die Aufgabe zu lösen.

Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ invertierbar, also $\begin{eqnarray*} {\rm det}(A)=ad-bc=n\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Welche $\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ sind jetzt invertierbar?

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11.12.2008, 21:15

energyfull

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det( $\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ )=[ad]-[bc] = n $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0

das kann dann ja auch so schreiben

11.12.2008, 21:28

Reksilat

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Du hast das c vergessen und außerdem ist $\begin{eqnarray*} {\rm det}(A)=[n] \end{eqnarray*}$ und [n] ist die Restklasse von n modulo p. Diese kann auch mal Null werden.

Große Frage: Wann ist [n]=[0]?

11.12.2008, 21:39

energyfull

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also wenn n die restklasse ist, und wenn mal [n]=[0] ist, das gilt doch wenn man keinen rest mehr hat oder nicht

11.12.2008, 21:41

Reksilat

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n ist eine Zahl, [n] ist die Restklasse modulo p. Wenn [n]=[0] ist, dann bleibt bei Division durch p kein Rest mehr und das bedeutet...?

11.12.2008, 21:53

energyfull

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das die restklasse 0 ist

11.12.2008, 22:05

Reksilat

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Wenn die Restklasse 0 ist, dann ist die Restklasse 0.
Toll! Bringt uns nur nicht weiter.

Es ist [n]=[0], also $\begin{eqnarray*} n\equiv 0({\rm mod}\, p) \end{eqnarray*}$ . Was kann man dann über p und n aussagen?

11.12.2008, 22:36

energyfull

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ich weisst nicht genau,

kann man nicht sagen die restklasse von 0 mod p ist die menge der vielfachen von p

11.12.2008, 22:46

Reksilat

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Kann man. Also ist n ein Vielfaches von p.

Nehmen wir jetzt mal ein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}8&2\\1&4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {\rm det}(A)=n=30 \end{eqnarray*}$

Für welche p ist $\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ invertierbar, für welche nicht?

11.12.2008, 23:09

energyfull

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also ich habe das mal mit den primzahlen geprüft und da kommt immer invertierbar raus,

für nicht invertierbar finde ich nichts

11.12.2008, 23:11

Reksilat

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Unfug, sei beispielsweise p=2, dann ist
$\begin{eqnarray*} A_p=\begin{pmatrix}[0]&[0] \\ [1]&[0]\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
bestimmt nicht invertierbar.

11.12.2008, 23:26

energyfull

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ach habe mod vergessen

wenn ich p=3 nehme

kommt dann

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} [2] & [-1] \\ [-2] & [1] \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

raus

11.12.2008, 23:47

Reksilat

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Mal 'ne Frage: Was genau soll ich darauf jetzt antworten? Ja, das stimmt, aber bringt Dich das weiter? Nein! Wenn das jetzt so weiter geht dauert das die ganze Nacht und deshalb habe ich mal ein wenig weiter gesponnen. Lies Dir das in Ruhe durch und frage, falls Dir etwas unklar ist. Dann versuche die fettgedruckte Frage am Schluss zu beantworten.

Reksilat: Ist die Matrix invertierbar?
energyfull: Nein.
R.: Und was lernen wir daraus?
e.: Ähh.
R.: Ok, wie sieht das bei p=5, p=7, u.s.w. aus?
e.: Bei p=5 sieht die Matrix so aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}[3]&[2]\\ [1]&[4]\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
R.: Und ist sie da invertierbar?
e.: Nein
R.: Toll, und p=7?
e.: Weißnich.
R.: Invertierbar oder nicht?
e.: Invertierbar?
R.: Ja, und für weitere Primzahlen?
e.: Also für p=9 ist sie invertierbar.
R.: 9 ist keine Primzahl
e.: Tschuldigung, 11 meine ich.
R.: Kann man das jetzt fortsetzen?
e.: Für alle p außer p=2,3 und 5 ist die Matrix invertierbar.
R.: Bravo! Es ist also det(A)=30 und die Matrix $\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ ist genau für p=2,3 und 5 nicht invertierbar. Was haben diese drei Primzahlen mit n=30 zu tun und wie können wir das verallgemeinern?

(Sorry wenn's übertrieben ist. Nicht bös' gemeint. smile

smile

)

12.12.2008, 00:05

energyfull

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danke, nee ich nehme es nicht übel, unglücklich

unglücklich

also was die zahlen p=2,3,5 mit n=30 zu tun haben,

30 ist durch diese zahlen teilbar.

für $\begin{eqnarray*} det(A)\neq 0 \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} A_p \in Mat (2,\mathbb F_p) \end{eqnarray*}$ inventierbar wenn $\begin{eqnarray*} p\neq 2, p\neq 3 , p\neq 5 \end{eqnarray*}$

12.12.2008, 00:18

Reksilat

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30 ist durch diese Zahlen teilbar und NUR durch diese Primzahlen. Stichwort Primfaktorzerlegung.

Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ jetzt eine Matrix mit $\begin{eqnarray*} {\rm det}(A)=n \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} n=p_1^{a_1}\cdotp_2^{a_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{a_k} \end{eqnarray*}$ die eindeutige Primfaktorzerlegung.

$\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ ist nun genau dann invertierbar, wenn p ...

12.12.2008, 00:29

energyfull

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$\begin{eqnarray*} n\neq 0 \end{eqnarray*}$

12.12.2008, 00:36

Reksilat

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$\begin{eqnarray*} n\neq 0 \end{eqnarray*}$ sei vorausgesetzt, steht schließlich in der Aufgabenstellung. Es geht darum diesen Satz fortzusetzen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ ist nun genau dann invertierbar, wenn $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ...

PS: Lange mache ich hier nicht mehr mit, wenn Du Dir nicht mal ansatzweise Mühe gibst. Das eben war keine Antwort, sondern pure Zeitvergeudung.

12.12.2008, 00:47

energyfull

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wir haben doch gesagt

wenn p ungleich 2;3;5 ist

12.12.2008, 00:53

Reksilat

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Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ jetzt eine Matrix mit $\begin{eqnarray*} {\rm det}(A)=n \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} n=p_1^{a_1}\cdotp_2^{a_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{a_k} \end{eqnarray*}$ die eindeutige Primfaktorzerlegung.

Ist es so schwer zu verstehen, dass das Beispiel hier aufhört und wir uns wieder dem allgemeinen Fall zuwenden? Für beliebige Matrizen muss man das Kriterium auch allgemein formulieren, da es ja auch Matrizen gibt für die beispielsweise $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ invertierbar ist.

12.12.2008, 01:04

energyfull

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wenn p nicht durch n teilbar ist

12.12.2008, 01:12

Reksilat

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Finger1

Genau falsch herum, aber die Idee dahinter stimmt ja schon mal beinahe. (p ist eine Primzahl!)

Ich fasse nochmal zusammen, was wir bisher erreicht haben:
Sei A invertierbar. Dann ist $\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ genau dann nicht invertierbar, wenn p ein Teiler von n ist.

Warum ist jetzt $\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ für fast alle p invertierbar?

12.12.2008, 01:24

energyfull

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eigentlich meinte ich das auch so, falsch formuliert,
weil die restklasse nicht null ist

12.12.2008, 01:35

Reksilat

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1. Was bedeutet "fast alle"?
2. Warum ist $\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ für fast alle Primzahlen p invertierbar?

Denk in Ruhe und ausgiebig darüber nach, ich geh' jetzt schlafen.

GN.

12.12.2008, 14:50

energyfull

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für fast alle zahlen, heisst einfach, nicht für alle zahlen zahlen,

also $\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ ist für die zahlen invertierbar, wenn durch division kein rest mehr übrig bleibt, d.h. wenn n kein vielfaches von p ist.

12.12.2008, 15:02

Reksilat

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Wenn es für genau fünf Zahlen gilt, gilt es auch nicht für alle Zahlen. Fünf Zahlen sind aber nicht fast alle. Link: klick

Zu tun:
Den Begriff "fast alle" verstehen und dann Frage 2 beantworten.

12.12.2008, 15:19

energyfull

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also fast alle bedeutet ja für alle bis auf endlich viele,

ich weiss nicht wie ich das hier anwenden soll,

also A_p ist für alle zahlen bis auf die, bei denen p ein teiler von n ist , invertierbar

12.12.2008, 15:22

Reksilat

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Und wie viele Primteiler hat n? (Ich will hier keine Zahl hören, sondern eine Größenabschätzung, die mit dem Begriff "fast alle" zu tun hat.)

12.12.2008, 15:31

energyfull

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das kommt doch auf die größe von n an, also bis auf endlich viele primteiler gibt es

12.12.2008, 15:44

Reksilat

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Kannst Du bitte verständliche Sätze schreiben. Mit

Zitat:

also bis auf endlich viele primteiler gibt es

kann ich nichts anfangen.

12.12.2008, 15:47

energyfull

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also n hat, für alle bis auf endlich viele primteiler.

12.12.2008, 15:51

Reksilat

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Dieser Satz ergibt für mich keinen Sinn, ich verstehe ihn nicht. Versuche bitte Deine Gedanken anders zu formulieren.

12.12.2008, 15:56

energyfull

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die primteiler hängen von der größe von n ab, aslo wenn n groß ist gibt es auch dementsprechend mehrere primteiler.

??

12.12.2008, 16:10

Reksilat

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Das ist nicht richtig, da es auch sehr große Primzahlen gibt, die dann dementsprechend nur einen Primteiler haben.

Nochmal möchte ich darauf hinweisen, dass es mir nicht um eine einzelne Zahl geht, sondern um eine Größenordnung, also soll es keinen Unterschied spielen, ob eine Zahl nur einen oder 25.000 verschiedene Primteiler hat. Es hat etwas mit dem Begriff "fast alle" zu tun. "Fast alle" heißt, dass es um alle bis auf endlich viele geht. Wie viele Primteiler hat eine Zahl n maximal?

12.12.2008, 16:13

energyfull

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endlich viele oder nicht

12.12.2008, 16:24

Reksilat

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Boah, endlich.

Richtig, n hat nur endlich viele Primteiler.

Zusammenfassung.
1) $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sei invertierbar, d.h. $\begin{eqnarray*} {\rm det}(A)=n\neq 0 \end{eqnarray*}$
2) Für jeden Teiler p von n, also p|n, ist $\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ nicht invertierbar
3) Für alle anderen Primzahlen p, ist $\begin{eqnarray*} A_p \end{eqnarray*}$ dagegen invertierbar

Damit sollte es nun möglich sein, die Behauptung zu beweisen.

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