lineares Polynom |
| 11.12.2008, 15:18 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| lineares Polynom zu einer Interpolationsaufgabe sind Stützstellen x_i im IR² gegeben und Werte y_i im IR. Ich soll nun zeigen, dass kein lineares Polynom existiert, das die Punkte (x_i, y_i) interpoliert. Ich verstehe aber nicht so recht, wie ein solches lineares Polynom aussehen sollte. Denn f(x_i)=ax+b bildet ja wieder in den IR² ab. Welche Form hat ein solches lineares Polynom stets? Oder muss ich da ganz anders rangehen? |
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| 11.12.2008, 15:22 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: lineares Polynom Wie lauten denn die Stützstellen? |
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| 11.12.2008, 16:26 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die Stützstellen sind: (0,0) mit Wert 0 (1,0) mit Wert 0 (0,1) m.W. -1 und (1,1) m.W. 1 |
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| 11.12.2008, 16:44 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Punkte liegen in der x1x2 Ebene. Sie sind die eckpunkte eines Rechtecks. Die Funktionswerte kannst du nun in der dritten Dimension auftragen. Du kannst aber offensichtlich keine Gerade durch diese 3d Punkte legen. Die Stützstellen müssten dazu auf einer Geraden im IR² liegen. |
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| 11.12.2008, 19:00 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hi tigerbine, ich bin mir noch nicht ganz sicher, ob ich das richtig verstanden habe. im grunde kann man doch nicht einmal nach Weglassen der Stützstelle x_3=(1,1) ein lineares die restliches Punkte interpolierendes Polynom aufstellen oder? Denn bereits durch y_1=0=y_2 ist doch festgelegt, dass das lineare polynom das nullpolynom ist. Stimmt das so? |
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| 11.12.2008, 19:58 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei nur 2 Stützstellen würde es gehen. Weitere müßten dann imho auf der Geraden durch diese beiden Punkte liegen, damit du die gewünschte Gerade im IR³ bekommst. |
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| 11.12.2008, 20:47 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
DANKE. ich habe noch eine Frage: ein Polynom (wie eben beschrieben, das aber auch einen höheren Grad haben kann) muss doch immer in einer Ebene liegen oder? |
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| 11.12.2008, 21:06 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gehen wir mal weg von der Geometrie. Also gesucht ist ein Polynom der Form Dabei ist nun die Frage, wie a und b aussehen. Müßte A dann nicht eine Matrix sein? Denn irgendwie müssen wir ja die Dimension reduzieren. Was habt ihr dazu aufgeschrieben? |
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| 11.12.2008, 21:51 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau nach einem derartigen Ansatz suche ich. wir haben dazu gar nichts aufgeschrieben, da wir uns bis jetzt auf den IR beschränkt haben. |
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| 11.12.2008, 21:53 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist ja dann doof. Aber wie du siehst, haben wir 3 Unbekannte. Da kann es mit 4 Punkten schon schief gehen. Du musst nun 4 Fälle machen, immer bleibt einer draußen und dann zeigen, dass er nicht auf der durch die anderen 3 bestimmten Lösung liegt. Berechne mal die 4 Fälle. Vielleicht kann ich dann einen 3D Plot machen. 
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| 11.12.2008, 22:13 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich habe einen Fall berechnet: also insgesamt: interpoliert P in diesem Punkt nicht. Aber genügt es nicht, nur diesen einen Fall zu zeigen? Denn ich habe das Polynom ja durch die ersten drei Punkte bereits eindeutig bestimmt!?! |
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| 11.12.2008, 22:25 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Plot hat die Gestalt einer Ebene. der Vierte Punkt liegt nicht drin. Ich würde alle Fälle prüfen um siche rzu gehen. In vielen UBlättern wurde das so gefordert. Kannst dann aber nachfragen, ob auch weniger gereicht hätte. Wäre nur dumm dadurch Punkte zu verlieren. |
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| 11.12.2008, 23:01 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie wäre es dann eigentlich, wenn ich ein quadratisches Polynom bestimmen möchte? Dann hätte ich ja P(x)=ax^2+..., aber wenn x aus IR^2, dann geht doch schon wieder was schief. Ich verstehe das irgendwie gar nicht; aber danke, dass du immer so rasch antwortest! |
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| 11.12.2008, 23:32 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann sind wir nun aber endgültig beim Thema mehrdimensionales Interpolieren. Da sind wir auf deine Vorlesung angewiesen, um weiterzumachen. Ich kenne mich im Deteil nur mit dem Eindimensionlaen Fall aus.
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| 12.12.2008, 04:54 | Hans87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich hab noch mal das Skript angeschaut, wir haben bie jetzt sicher nur den eindimensionalen Fall behandelt. |
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