Teilmenge Implikation

12.12.2008, 09:36

Gelbfuss

Teilmenge Implikation

Hallo zusammen,

wir hatten heute ein Einführung in Logik und Mengenlehre. Dabei wurden auch neue Begriffe wie Implikation und Teilmenge etc eingeführt.
In diesem Zusammenhang wurde die Teilmenge als gleichbedeutend mit der Implation aus $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ dargestellt.
Also:
$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} x \in A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$ .

Mir leuchtet das überhaupt nicht ein. Die Implikation wird doch auch wahr wenn x kein Element von A, jedoch Element von B ist.
Wäre die Definition der Teilmenge als:
$\begin{eqnarray*} x \in A x \wedge \in B \end{eqnarray*}$ nicht das richtige Äquivalenz ?

Viele Grüße
Simon

12.12.2008, 11:00

Jacques

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Hallo,

Eure Definition ergibt keinen Sinn, weil die Variable x gar nicht weiter erklärt wird. Korrekt wäre:

$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \ \Longleftrightarrow\ \textrm{für alle } x \textrm{ gilt: } x \in A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Gelbfuss

Mir leuchtet das überhaupt nicht ein. Die Implikation wird doch auch wahr wenn x kein Element von A, jedoch Element von B ist.

Richtig. Aber das ist doch kein Widerspruch. Die Teilmengenrelation lässt sehr wohl zu, dass in B zusätzliche Elemente liegen, die nicht Elemente von A sind. Bei der Teilmengenrelation wird nur gefordert, dass jedes Element von A auch in B liegt. Und das wird durch die obige Aussage gewährleistet.

Zitat:

Original von Gelbfuss

Wäre die Definition der Teilmenge als:
$\begin{eqnarray*} x \in A x \wedge \in B \end{eqnarray*}$ nicht das richtige Äquivalenz ?

Auch hier wieder: Die Variable x muss erklärt werden. Wird sie als Stellvertreter für ein beliebiges Objekt gebraucht („es gibt ein x ...“)? Oder kennzeichnet sie alle Objekte („für alle x ...“)?

Wenn Du das nachholst, wirst Du schnell feststellen, dass diese Aussage nicht gleichwertig mit der Teilmengendefinition ist.

12.12.2008, 11:12

Gelbfuss

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Zitat:

Du hast recht, das leuchtet mir ein. Jetzt wird mir auch klar, warum meine untere Bedingung nicht stimmen kann. Es muss nich jedes x Element von A sein, obwohl es Element von B ist. Ich habe nicht gründlich genug überlegt verwirrt

Noch eine Frage zu der Implikation: Diese wird ja auch wahr, wenn x weder Element von A noch von B ist. Diese Fälle übergehe ich, weil sie kein Widerspruch darstellen ?

Diese Logikoperatoren sind noch relativ neu für mich und bereiten mir doch doch einige Schwierigkeiten. Gerade die Implikation find ich relativ verwirrend. Ging es euch am Anfang ähnlich oder ist logisches Denken wohl doch nicht meine Stärke unglücklich

12.12.2008, 11:23

Jacques

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Die Aussage

$\begin{eqnarray*} \textrm{für alle } x \textrm{ gilt: } x \in A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$

fordert, dass für jedes erdenkliche x die Implikation x Element A => x Element B wahr ist.

Die Implikation ist genau dann wahr, wenn:

(1) x Element von A, und x Element von B (ein Objekt ist Element beider Mengen)

oder

(2) x nicht Element von A, und x Element von B (ein Objekt ist nur Element von B, aber nicht von A)

oder

(3) x nicht Element von A, und x nicht Element von B (ein Objekt tritt in keiner der beiden Mengen als Element auf)

Die obige Aussage ist also genau dann wahr, wenn bei jeder der „unendlich vielen Implikationen“ einer der drei Fälle eintritt -- und das entspricht doch genau der Definition der Teilmengenrelation.

Man kann es auch anders formulieren: Eine Implikation P => Q ist nur dann falsch, wenn zwar P wahr, aber Q falsch ist. Durch die obige Aussage wird also verhindert, dass bei irgendeinem Objekt x gilt: x Element von A, aber x nicht Element von B. Alles andere wird zugelassen (x Element von A, und x Element von B; x ist kein Element von einer der beiden Mengen u. s. w.). Das ist doch genau die Definition der Teilmengenrelation.

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