[Artikel] Basis, Bild und Kern

Neue Frage »

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
[Artikel] Basis, Bild und Kern
In diesem Artikel wollen wir uns mit Bild und Kern von linearen Abbildungen beschäftigen.



Dabei seien V und W 2 Vektorräume der Dimensionen n und m. Wir statten sie mit den folgenden Basen aus:



Bezgl. dieser Basen soll die Abbildung F durch die Matrix dargestellt werden. (In den meisten Fällen wird wohl die Standardeinheitsbasis gemeint sein.)
  • Dimensionssatz

    Ein probates Mittel um den Rang einer Matrix zu bestimmen, ist sie mittels Gaussalgorithmus auf Zeilenstufenform zu bringen.

  • Kern

    Hier suchen wir die Urbilder des Nullvektors von W. Es ist also das LGS zu lösen. Der Lösungsraum ist dann dann Untervektorraum von V.

  • Bild

    Ginge es nur um ein Erzeugendensystem, so könnte man direkt die Spalten von M nehmen, sind dies doch die Bilder der Basisvektoren von V. Wie erhalten wir daraus aber eine Basis? Beim Gaussalgorithmus kombinieren wir Zeilenvektoren linear miteinander. Somit muss die Transponierte Matrix auf Treppengestalt gebracht werden.

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel 1





  • Das LGS zur Kernberechnung







  • Die transponierte Matrix







 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel 2
Es sei eine Basis des und die Abbildung mit sei linear. B=(b_1,b_1) sei eine Basis des


Aufstellen des homogenen LGS:








Aufstellen der transponierten Matrix:





tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel 3




Nun muss man die Spalten "linear unabhängig" machen. Maximal bekommen wir 3 Vektoren.



Das bringen wir mit Gauss auf eine andere Form.



Somit:



Schauen wir mal, wie wir damit die Spalten von A bekommen. Die erste ist offensichtlich. Die zweite:





Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »