Limes

13.12.2008, 13:29

energyfull

Limes

hallo habe eine frage,

wie kann ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1- cos(x)}{x²} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

13.12.2008, 13:36

Soz.Päd.

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Guten Tag,

eine Möglichkeit wäre die Anwendung der "L'Hopital"-Regel, wenn du die verwenden darfst. Um genau zu sein, müsste man begründen, warum man sie verwenden darf.

Gruß
Soz.Päd.

13.12.2008, 13:57

energyfull

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man könnte es auch eigentlich mit der reihendarstellung für cos machen, aber ich weiss nicht wie das geht.

L'Hopital-Regel sagt mir nichts

13.12.2008, 13:58

tmo

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Erweitere mit $\begin{eqnarray*} 1+\cos x \end{eqnarray*}$

13.12.2008, 14:11

energyfull

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also wenn ich erweitere

sieht es dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - cos (x)}{x²} \frac{1 - cos (x)}{1+ cos(x)} \end{eqnarray*}$

dann kommt da :

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - (cos (x))²}{x² +x² cos(x)} \end{eqnarray*}$

wie geht es dann weiter

13.12.2008, 14:12

tmo

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Zitat:

Original von energyfull
$\begin{eqnarray*} \frac{1 - cos (x)}{x²} \frac{1 - cos (x)}{1+ cos(x)} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Oder hast du dich nur verschrieben?

13.12.2008, 14:19

energyfull

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da kommt eigentlich + hin:

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - cos (x)}{x²} \frac{1 + cos (x)}{1+ cos(x)} \end{eqnarray*}$

13.12.2008, 14:20

tmo

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Wende im Zähler die 3te binomische Formel an. Den Nenner veränderst du nicht. Wenn dann ziehst du ihn auseinander.

13.12.2008, 14:28

energyfull

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wenn ich die 3. binomische formel anwende

steht da:

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - (cos(x))²}{x² (1+ cos(x))} \end{eqnarray*}$

13.12.2008, 14:29

tmo

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Wenn du den Zähler betrachtest, sollte dir was auffallen.

13.12.2008, 14:38

energyfull

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kann man das auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{sin²(x)}{x²} \frac{1}{1+cos(x)} \end{eqnarray*}$

13.12.2008, 14:41

tmo

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Richtig. Jetzt musst du nur noch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ nutzen.

13.12.2008, 14:47

energyfull

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$\begin{eqnarray*} (\frac{sin (x)}{x})² \frac{1}{1+cos(x)} \end{eqnarray*}$

also kommt da

$\begin{eqnarray*} 1² \frac{1}{1+cos (x)} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+cos (x)} \end{eqnarray*}$

13.12.2008, 14:49

tmo

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{1}{1+\cos x} \end{eqnarray*}$ ?

Das ist sehr einfach.

13.12.2008, 14:53

energyfull

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

oder nicht??

13.12.2008, 14:53

tmo

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Genau

13.12.2008, 14:58

energyfull

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danke ich habe noch ein paar fragen:

1) ich soll $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} exp(-1/ x^{4} ) \end{eqnarray*}$

ich habe da 0 raus, ist es richtig, aber ich weiss nicht so genau wie man das beweisen soll

2) ich soll $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x [\frac{1}{x}] \end{eqnarray*}$ finden

ich weiss hier nicht was [ ] bedeutet

aber für $\begin{eqnarray*} x\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ kommt 1 raus, wie kann ich das genau beweisen

13.12.2008, 15:02

tmo

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Zu 1) Direkt mit der Definition des Grenzwertes bei Funktionen. Wie habt ihr den definiert?

Zu 2) $\begin{eqnarray*} \lfloor . \rfloor \end{eqnarray*}$ ist die Gaußklammer

13.12.2008, 15:10

energyfull

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wir haben das sogemacht:

$\begin{eqnarray*} f\in F(X), a\in X' \end{eqnarray*}$

dann hat f in a Grenzwert $\begin{eqnarray*} l( \in \mathbb R ) \end{eqnarray*}$ und man schreibt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} f(x) = l \end{eqnarray*}$
wenn

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon \exists \delta>0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall x\in X: 0<|x-a|<\delta => |f(x) -l|<\epsilon \end{eqnarray*}$

wie kann ich das damit machen.

zu 2) also ist das das gleiche, d.h mit den [ ] kommt auch 1

13.12.2008, 19:49

energyfull

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kannst du mir nochmal helfen, ich kann die definition von limes nicht anwenden

14.12.2008, 14:16

tmo

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Zu zeigen ist, dass für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ existiert, sodass die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |\exp\left( -\frac{1}{x^4}\right)| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x| < \delta \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

Man nutzt $\begin{eqnarray*} \exp(a) \geq a+1 > a \end{eqnarray*}$ und schätzt dann etwas ab:

$\begin{eqnarray*} |\exp\left( -\frac{1}{x^4}\right)| = \frac{1}{\exp\left(\frac{1}{x^4}\right) } < \frac{1}{\frac{1}{x^4}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du erkennen, wie du $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wählen kannst.

Zur 2)

Zeige $\begin{eqnarray*} |x \lfloor \frac{1}{x} \rfloor-1| \leq x \end{eqnarray*}$

14.12.2008, 16:24

energyfull

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danke für deine antwort,

aber ich verstehe das nicht so ganz, wie kann ich denn erkennen, wie ich $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wähle??

zu 2)

$\begin{eqnarray*} |x[\frac{1}{x}]-1| \end{eqnarray*}$

kann ich das dann nicht so machen:

$\begin{eqnarray*} |[\frac{x}{x}]-1| \end{eqnarray*}$

das wird zu $\begin{eqnarray*} |1-1| \end{eqnarray*}$

dann $\begin{eqnarray*} 0\leq x \end{eqnarray*}$

14.12.2008, 16:27

tmo

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Nein kann man nicht. Warum sollte denn $\begin{eqnarray*} x \lfloor \frac{1}{x} \rfloor = 1 \end{eqnarray*}$ für alle x gelten?

14.12.2008, 16:34

energyfull

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ich dachte mir das geht

traurig

wie kann ich das denn anders machen,

kannst du mir auch erklären wie ich dieses $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ erkenne

14.12.2008, 16:38

tmo

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Zitat:

Original von tmo
$\begin{eqnarray*} |\exp\left( -\frac{1}{x^4}\right)| = \frac{1}{\exp\left(\frac{1}{x^4}\right) } < \frac{1}{\frac{1}{x^4}} \end{eqnarray*}$

Wie kannst du denn hier weiter umformen bzw. weiter nach oben abschätzen, wenn du $\begin{eqnarray*} |x|<\delta \end{eqnarray*}$ weißt?

Zur Gaußklammer: Lies doch mal den Link. Da steht die Lösung sozusagen auf dem Präsentierteller.

Genauer muss die Abschätzung übrigens $\begin{eqnarray*} |x \lfloor \frac{1}{x} \rfloor-1| \leq |x| \end{eqnarray*}$ lauten. Ich hatte vorerst nur positive x betrachtet.

14.12.2008, 16:55

energyfull

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ich schaffe es leider nicht das umzuformen

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