Basiswechsel und Koordintenabbildung von Matrizen

13.12.2008, 13:52

Steppo

Basiswechsel und Koordintenabbildung von Matrizen

Hallo,

ich hab e mein anleigen bereits ausführlich bei onlinemathe geschildert, jedoich antwortet keiner: http://www.onlinemathe.de/forum/Basiswec...are-Abbildungen

Ich hoffe ihr könnt mir da helfen. Gott

13.12.2008, 15:46

tigerbine

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RE: Basiswechsel und Koordintenabbildung von Matrizen
Stell die Frage hier neu. unglücklich

[Artikel] Basiswechsel

14.12.2008, 12:26

Steppo

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RE: Basiswechsel und Koordintenabbildung von Matrizen
...wenn ich auf deinen Thread antworten will, kommt das ich keine Berechtigung habe auf die Seite zuzugreifen.... unglücklich

14.12.2008, 12:29

kiste

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tigerbine meinte du sollst deine Frage in diesen Thread nochmal stellen. Dies ist a) aus Gründen der Bequemlichkeit für uns und b) damit der Thread auch noch Sinn macht falls die andere Seite offline ist.

Der Link war nur für dich als Lektüre gedacht

14.12.2008, 13:50

Steppo

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frage
Zwei Basen des Vektorraums V der reellen 2x2 obere Dreiecksmatrizen sind gegeben:

$\begin{eqnarray*} B1 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B2 \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ferner ist die darstellende Matrix der linearen Abbildung L: V-> V bzgl. B1 durch
LB1 $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3/2 & 2 & 0 \\ -1/2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gegeben.

" Bestimmen Sie die Transformationsmatrix beim Basiswechsel von B1 nach B2 , indem Sie zuerst die Koordinatenabbildung KB2 von V bzgl. B2 sowie die Inverse KB1^ -1 zu der Koordinatenabbildung von V bzgl B1 bestimmen. Bestimmern sie auch LB2." Das ist die Aufabe, ich mit der BErechnung von LB2 angefanngfen und komme dann auf folgende Lösung: $\begin{eqnarray*} LB2:= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Bei der ersten Aufgabe komm ich nicht weiter da ich nicht weiss, welchen Vektor/Matrix x ich nehmen soll, weil ja keiner gegeben ist. Könnte es sein das ich für x einfach die obere Dreiecksmatrix nehmen muss? Und ist meine Lösung für LB2 überhaupt richtig?

14.12.2008, 13:54

tigerbine

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RE: frage
Die Gestalt der Vektoren ist hier ziemlich egal. Wichtig ist, wie man sie linear kombinieren muss. Es ist

$\begin{eqnarray*} B2_1 = 3\cdot B1_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B2_2=B1_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B3_3=B1_1 \end{eqnarray*}$

Umgekehrt kann man schreiben:

$\begin{eqnarray*} B1_1 = \frac{1}{3}\cdot B2_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B1_2=B1_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B1_3=B1_1 \end{eqnarray*}$

mit diesen Informationen kannst du vorgehen, wie oben verlinkt.

14.12.2008, 14:31

Steppo

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RE: frage
Also entweder is heut ma wieder einer der Tage an denen ich nichts raffe oder dein verlinkter Thread bringt mich einfach nicht weiter. Bei mir eght es auch um andere Räume. Und mein hauptproblem ist das ich die KB2 nicbht rausbekomme weil wir es im Tutorium total schwammig behandelt haben

14.12.2008, 14:48

tigerbine

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RE: frage
Es ist doch egal, wie der Vektorraum im Detail aussieht. In der Matrix stehen nur die Koeffizienten einer Basis bzgl der anderen. Deswegen habe ich dir die Rechnung doch schon gepostet. Und die musst du nur noch in eine Matrix packen um

Zitat:

Bestimmen Sie die Transformationsmatrix beim Basiswechsel von B1 nach B2 , indem Sie zuerst die Koordinatenabbildung KB2 von V bzgl. B2 sowie die Inverse KB1^ -1 zu der Koordinatenabbildung von V bzgl B1 bestimmen.

zu erhalten. Das kann dann so aussehen. Hier ist W=V.

code:

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54:
55:

ür eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 3
Dimension von W: m= 3
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [0,3,0]
Vektor 2: [0,0,1]
Vektor 3: [1,0,0]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [0,3,0]
Vektor 2: [0,0,1]
Vektor 3: [1,0,0]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2? 1
 
M = [-1.5,2,0;0.5,2,0;0,0,0]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x
S =
     0     0     1
     3     0     0
     0     1     0
M1 =
   -1.5000    2.0000         0
    0.5000    2.0000         0
         0         0         0
TI =
         0    0.3333         0
         0         0    1.0000
    1.0000         0         0
M2 =
    2.0000         0    0.1667
         0         0         0
    6.0000         0   -1.5000
 
Bild von Vektor x2 berechnen 
x= [1;0;0]
y =
     2
     0
     6

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