Jordansche Normalform & Co.

13.12.2008, 15:12

Simon01

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Jordansche Normalform & Co.

Guten Tag miteinander!

Ich hätte ne Frage zu folgender (eher algebralischen) Aufgabe:
Wie zeigt man folgendes?

(U, V, W sind Vektorräume über einem Körper K mit U geschnitten mit V und H: V --> W eine lineare Abbildung.)
Es ist U geschnitten mit Ker(H) genau dann, wenn es eine linerare Abbildung H': V/U --> W gibt, so dass die Komposition V --> V/U --> W gleich H ist, wobei die Abbildung V --> V/U die kanonische Projektionn ist.
Zeige ausserdem, dass H', falls es existiert, eindeutig bestimmt ist.
(H' wird die induzierte Abbildung genannt.)

13.12.2008, 16:36

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Hallo Simon,

Willkommen an Bord (bzw.Willkommen bei den registrierten Nutzern Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Leider kann ich Deine Aufgabe nicht entziffern, da so etwas wie
"Es ist U geschnitten mit Ker(H) genau dann, wenn ..."
keinen Sinn ergibt.

$\begin{eqnarray*} U\cap {\rm Ker}(H) \end{eqnarray*}$ ist ein Term, $\begin{eqnarray*} U\cap {\rm Ker}(H)=\{0\} \end{eqnarray*}$ ist dagegen eine Aussage und nur eine Aussage ist an dieser Stelle sinnvoll; ebenso eine Zeile darüber.
("Es ist 5 genau dann, wenn 8+a²" ergibt ja auch keinen Sinn.)

Versuche die Aufgabe zu überarbeiten, damit man sie ordentlich lesen kann. Hilfreich ist dafür auch die Verwendung von Latex, da sich $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ weitaus besser liest, als A geschnitten B

code:
1:	[latex]A \cap B [/latex]

13.12.2008, 16:51

Simon01

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RE: Jordansche Normalform & Co.
hihi herzlichen Dank! smile

smile

ääääähhhmm...ach...neinei, natürlich ist es nicht "geschnitten", sondern "Teilmenge von" - ich korrigiere:

(U, V, W sind Vektorräume über einem Körper K mit U Teilmenge von V und H: V --> W eine lineare Abbildung.)
Es ist U Teilmenge von Ker(H) genau dann, wenn es eine linerare Abbildung H': V/U --> W gibt, so dass die Komposition V --> V/U --> W gleich H ist, wobei die Abbildung V --> V/U die kanonische Projektionn ist.
Zeige ausserdem, dass H', falls es existiert, eindeutig bestimmt ist.
(H' wird die induzierte Abbildung genannt.)

Tut mir leid wegen dem Verschreiber...

13.12.2008, 17:57

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Immer noch schwer leserlich, hier gibt's das Latex-Tutorium.

Fangen wir mit der Rückrichtung an:
Sei $\begin{eqnarray*} k:V\rightarrow V/U \end{eqnarray*}$ die kanonische Projektion, d.h. $\begin{eqnarray*} k(v)=vU \end{eqnarray*}$
Weiter gibt es eine Abbildung $\begin{eqnarray*} H':V/U\rightarrow W \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} H'\circ k=H \end{eqnarray*}$
Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} U\subseteq {\rm ker} (H) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} U\subseteq {\rm ker} (H'\circ k) \end{eqnarray*}$ .

Nehmen wir also ein Element $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ her und wenden $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ darauf an: $\begin{eqnarray*} H(u)=H'(k(u))=...? \end{eqnarray*}$

13.12.2008, 21:06

Simon01

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RE: Jordansche Normalform & Co.
... = V/U --> W .

Und um zu zeigen, dass H' eindeutig bestimmt ist, ist nachzuweisen, dass der Wert g([a]_1) unabhängig vom ausgewählten Repräsentanten a der Äquivalenzklasse [a]_1 ist. Das heisst: [x]_1 = [y]_1, dann folgt [f(x)]_2 = [f(y)]_2

nicht? oder würde das einfacher gehen? smile

smile

13.12.2008, 21:19

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Tut mir leid, aber ich habe keine Ahnung, was Du hier sagen willst. Von welchen Äquivalenzklassen sprichst Du? Was ist g? Was hat das mit dem zu tun, was ich geschrieben habe?

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13.12.2008, 22:05

Simon01

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RE: Jordansche Normalform & Co.
oke...ich habe das mit "wohldefiniert" verwechselt...

somit habe ich eigentlich keine Ahnung... smile

smile

13.12.2008, 22:08

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Warum schaust Du Dir nicht das an, was ich geschrieben habe, oder stellst Fragen, wenn Du es nicht verstanden hast?

Wir wollen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ im Kern von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ liegt. Was ist $\begin{eqnarray*} k(u)? \end{eqnarray*}$

13.12.2008, 22:18

Simon01

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RE: Jordansche Normalform & Co.
das ist doch uU, nicht? =S

13.12.2008, 22:23

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Ja, aber was ist denn $\begin{eqnarray*} uU \end{eqnarray*}$ ? Unter Umständen solltest Du berücksichtigen, dass $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegt.

Als nächstes überlege dann, was $\begin{eqnarray*} H'(k(u)) \end{eqnarray*}$ ist.

14.12.2008, 00:36

Simon01

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Hallo!
Also ich bin mir nicht ganz sicher, aber wenn u in U ist, dann ist es doch einfach U.

Und H'(k(u)) ist doch einfach H'(U)

...

14.12.2008, 01:59

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Soweit gut, aber was ist U im Vektorraum V/U?

H' ist eine lineare Abbildung vom Vektorraum V/U in den Vektorraum W. Was kann dann nur das Bild von U sein?

14.12.2008, 14:38

Simon01

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RE: Jordansche Normalform & Co.
U ist dann einfach die Teilmenge des Kerns (von H).

14.12.2008, 17:36

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Das wollten wir ja zeigen. Ist Dir klar, warum das gilt oder warum schreibst Du das jetzt?

14.12.2008, 17:50

Simon01

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Neinein, das ist mir jetzt klar...Mann..das ist ja fast trivial...hehe

Ich habe noch zwei Fragen: Und zwar kann man ja eben aus dieser Aufgabe folgern, dass (natürlich wenn U Teilmenge vom Ker(H) bleibt) U = Ker(H) ist, kann man dann nicht sogar noch sagen, dass H' injektiv ist?

Dann noch eine etwas andere Frage: Wenn gilt: Eig(F, Lambda) = Hau(F, Lambda) , wie kann man dann zeigen, dass Im(F_Lambda | W_{Lambda,i}) Teilmenge von W_{Lambda,i-1} ist?

Vielen Dank für die Hilfe!
War sehr hilfreich!! smile

smile

14.12.2008, 17:59

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Wenn U=ker(H) ist, dann ist H' injektiv, das ist richtig.

Die zweite Frage habe ich nicht verstanden, da ich weder weiß, was Hau(F, Lambda) ist, noch mit Im(F_Lambda | W_{Lambda,i}) etwas anfangen kann.

14.12.2008, 18:31

Simon01

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Ouw, na klar, weil ich die Notationen nicht angegeben habe.

Ergänzungen zu:
" Dann noch eine etwas andere Frage: Wenn gilt: Eig(F, Lambda) = Hau(F, Lambda) , wie kann man dann zeigen, dass Im(F_Lambda | W_{Lambda,i}) Teilmenge von W_{Lambda,i-1} ist? "

: Sei Lambda ein Eigenwert von F und sei F_Lambda: = F - Lambda * id_V Element End(V). Weiterhin sei W_{Lambda, i} : = $\begin{eqnarray*} F_{\lambda}^i \end{eqnarray*}$ für i Element N und i > 0 und W_{Lambda, 0} : = {0v}

14.12.2008, 18:51

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Bist Du Dir sicher? Wieso ist $\begin{eqnarray*} W_{\lambda ,i} \end{eqnarray*}$ eine Funktion für $\begin{eqnarray*} \lambda\geq 1 \end{eqnarray*}$ und eine Menge für $\begin{eqnarray*} \lambda =0 \end{eqnarray*}$ ? Außerdem weiß ich noch immer nicht, was Hau sein soll.

14.12.2008, 18:58

Simon01

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Ja, schau:

[attach]9391[/attach]

Hau ist die Abkürzung für den Hauptraum (der heisst so, oder :-S ..kommt davon, wenn man immer nur Abkürzungen verwendet...)

14.12.2008, 19:18

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Boah, viel besser. Da steht übrigens was ganz anderes, als Du geschrieben hast. Versuche bitte solche Ratespielchen in Zukunft zu vermeiden.

Also d) ist zu zeigen? Dann nimm ein $\begin{eqnarray*} x\in {\rm Im}(F_\lambda|W_{\lambda,i}) \end{eqnarray*}$ , d.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} y\in W_{\lambda,i} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} x=F_\lambda y \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} x\in W_{\lambda,i-1} \end{eqnarray*}$ gilt.

14.12.2008, 19:27

Simon01

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Okey, super smile

smile

Tut mir leid...kommt nicht wieder vor!

Also ich würde so argumentieren: Da x Element von Im(F_Lambda | W_Lambda, i) ist, und Im(F_Lambda | W_Lambda, i) Teilmenge von W_(Lambda, i-1) ist, ist x zugleich auch Element von W_(Lambda, i-1) .

14.12.2008, 19:38

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Das wollen wir doch gerade zeigen. Lies bitte die Aufgabenstellung richtig.

Es ist $\begin{eqnarray*} y\in W_{\lambda,i} \end{eqnarray*}$ , was bedeutet das für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ?

14.12.2008, 19:45

Simon01

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RE: Jordansche Normalform & Co.
für y bedeutet das, dass es auch im Im(F_Lambda | W_(Lambda, i) enthalten ist.

14.12.2008, 19:56

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Sehe ich jetzt nicht warum, hilft glaub' ich auch nicht weiter. verwirrt

verwirrt

Schau Dir die Definition von $\begin{eqnarray*} W_{\lambda,i} \end{eqnarray*}$ an und sage mir welche Eigenschaft ein Element aus dieser Menge haben muss.

14.12.2008, 20:02

Simon01

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RE: Jordansche Normalform & Co.
achso..es ist in Ker(F_{Lambda}^i) enthalten.

14.12.2008, 20:05

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Weiter denken!

Es ist $\begin{eqnarray*} y\in {\rm Ker}(F_\lambda^i) \end{eqnarray*}$ , also ist ...

14.12.2008, 20:14

Simon01

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RE: Jordansche Normalform & Co.
y auch Element von W_(Lambda, i) , aber das hast du ja bereits gesagt..

ahh (nicht absolut sicher) : ...also ist y auch = Eig(F, Lambda), also auch = Hau(F, Lambda) .

14.12.2008, 20:20

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Also das: "y auch = Eig(F, Lambda)" ist Quatsch, da das eine ein Element ist und das andere eine Menge.

Hier genügt einfaches geradeausdenken, es gibt quasi immer nur eine Möglichkeit, wie man weiter macht.

1. Es ist $\begin{eqnarray*} y\in W_{\lambda,i} \end{eqnarray*}$ , also schauen wir uns die Definition der Menge an und erhalten:
2. $\begin{eqnarray*} y\in {\rm ker}(F_\lambda^i) \end{eqnarray*}$ , was per Definition des Kerns gleichbedeutend ist mit:
3. $\begin{eqnarray*} F_\lambda^iy=0 \end{eqnarray*}$

Was kann man damit anfangen? Richtig, man verwendet die zweite Eigenschaft, die man von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ kennt, nämlich $\begin{eqnarray*} F_\lambda y=x \end{eqnarray*}$ .

Welche Gleichung erfüllt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ also?

14.12.2008, 20:38

Simon01

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RE: Jordansche Normalform & Co.
x = 0 ; das heisst also, dass x wirklich Element von W_(Lambda, i-1) ist, denn es gilt: i > 0, also ist die kleinstmögliche "Zahl" 0.

Somit wäre die Behauptung bewiesen.

14.12.2008, 20:43

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Wieso sollte x=0 sein? verwirrt

verwirrt

Es ist $\begin{eqnarray*} F_\lambda^iy=0 \end{eqnarray*}$ , da steht die i-te Potenz!
Anders aufgeschrieben: $\begin{eqnarray*} 0=F_\lambda^iy=F_\lambda^{i-1}(F_\lambda^{}y) \end{eqnarray*}$ (Zaunpfahl!)

14.12.2008, 20:52

Simon01

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RE: Jordansche Normalform & Co.
oke... x = $\begin{eqnarray*} \frac{y}{F_\lambda^{i-1}} \end{eqnarray*}$

14.12.2008, 21:03

Reksilat

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RE: Jordansche Normalform & Co.
omg was soll das? F ist eine Funktion, da kann man nicht einfach dividieren. Das ist grober Unfug.

Irgendwie musst Du hier auch selbst weiterkommen, da ich keinen Sinn darin sehe, letztendlich jeden Schritt vorzugeben. In meinen beiden vorherigen Postings steht quasi genau da was Du machen musst und mehr Hilfe kann ich beim besten Willen nicht geben. Überlege was Du bisher weißt und worauf Du hinauswillst, der Weg ist wirklich nicht mehr so weit, dass man das nicht sehen könnte.

15.12.2008, 00:48

Simon01

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RE: Jordansche Normalform & Co.
Du hast Recht!
Vielen Dank - ich musste mir nur alles auf ein Blatt Papier schreiben et voilà smile

smile

Herzlichen Dank und gute Nacht!

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