Morphismen

13.12.2008, 15:48

Fabian06

Morphismen

Hallo miteinander!

Ich habe nur eine kleine Frage:
Wie sieht $\begin{eqnarray*} Hom_{S \epsilon T}( (0,1,2) , (a,b) ) \end{eqnarray*}$ explizit aufgeschrieben aus?

Vielen Dank für die Antwort!

13.12.2008, 16:23

Reksilat

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RE: Morphismen
Kannst Du das vielleicht etwas genauer erläutern?

Was bedeutet $\begin{eqnarray*} S\in T \end{eqnarray*}$ , was für Strukturen sollen $\begin{eqnarray*} (0,1,2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ sein? Es gibt auf vielen Strukturen Homomorphismen und Morphismen und ich bin mir nicht im klaren darüber, worum es Dir hier geht.

13.12.2008, 16:46

Fabian06

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RE: Morphismen
Also zunächst ist es nicht S Element T, sondern: "S", "Epsilon", "T".

Das Problem ist, dass nur die folgende Angabe vorhanden ist:

Hom_{SET} ({0,1,2}, {a,b})

Und nun würde es mich eben wunder nehmen, wie das explizit aufgeschrieben aussehen würde..

13.12.2008, 16:52

Reksilat

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RE: Morphismen
Kann ich leider nichts mit anfangen, sorry. Vielleicht findet sich noch jemand.

13.12.2008, 17:09

Fabian06

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RE: Morphismen
Hmm..ich sehe gerade, dass wir etwas bestimmt haben, das vermutlich nicht allgemein so gemacht wird - ich habe es hier mal als Bild hinzugefügt:

[attach]9381[/attach]

13.12.2008, 17:48

Reksilat

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RE: Morphismen
Es geht also um die Kategorie der Mengen und Mengenabbildungen (Sets! Hammer

).

Da in unserem Beispiel die Morphismen gerade alle Abbildungen zwischen den Objekten (hier: beliebige Mengen) sind, besteht $\begin{eqnarray*} {\rm Mor}_\mathcal{SET}(\{0,1,2\},\{a,b\}) \end{eqnarray*}$ aus sämtlichen Abbildungen $\begin{eqnarray*} f:\{0,1,2\}\rightarrow \{a,b\} \end{eqnarray*}$ .

Da diese Abbildungen eindeutig durch die Bilder $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(2) \end{eqnarray*}$ definiert sind, gibt es insgesamt $\begin{eqnarray*} 2^3 \end{eqnarray*}$ viele Funktionen.

Sei $\begin{eqnarray*} f_{xyz} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(0)=x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(1)=y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(2)=z \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x,y,z\in\{a,b\} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} {\rm Mor}_\mathcal{SET}(\{0,1,2\},\{a,b\})=\{f_{aaa},f_{aab},f_{aba},\ldots,f_{bbb}\} \end{eqnarray*}$

PS: Mengenklammern mit \{ und \} schreiben

13.12.2008, 20:41

Fabian06

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RE: Morphismen
aahhh..also das ganz explizit ausgeschrieben wäre Hom_{SET} (...) :
{ f_aaa, f_aab, f_aba, f_baa, f_abb, f_bab, f_bba, f_bbb }

richtig? smile

13.12.2008, 21:03

Reksilat

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RE: Morphismen
Richtig, ich hoffe es hilfft.

Warum bezeichnest Du die Menge der Morphismen eigentlich als Hom(..)? Sehr gleichmäßig sind die Morphismen hier nicht gerade.

14.12.2008, 00:43

Fabian06

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RE: Morphismen
Ja sehr!
Hab die Aufgabe nun vollständig und hoffentlich auch richtig lösen können smile

Hihi stimmt, eigentlich... aber es wurde uns "vorgegeben", dass man diese Morphismen hier Hom nennen darf...

Ich hätte noch eine andere Frage; ebenfalls zur explizit aufgeschriebenen Form: Wie sieht $\begin{eqnarray*} id_Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} id_{Z/15Z} \end{eqnarray*}$ in der Kategorie SET explizit aus?

(Q = raionale Zahlen, Z = ganze Zahlen)

Herzlichen Dank und gute Nacht!

14.12.2008, 02:11

Reksilat

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RE: Morphismen
Wie soll die Identität schon aussehen? Die Abbildung $\begin{eqnarray*} {\rm id}_\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ bildet jede rationale Zahl auf sich selbst ab, das kann man nicht explizit aufschreiben. Das hat übrigens nicht wirklich was mit Morphismen und Kategorien zu tun, die Identität ist die Identität. Kann mir auch nicht vorstellen, dass jemand Fragen á la "Wie sieht die Identität auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ explizit aus?" stellt.

Komische Frage, vielleicht versteh' ich sie auch nicht richtig. verwirrt

14.12.2008, 15:00

Fabian06

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RE: Morphismen
Hmm okee...neinein, es ist nur für mich, natürlich wird eine solche Frage nicht so gestellt..es dient mir nur zur Lösung der gesamten Aufgabe...

..und was ist mit id_{Z/15Z} ?

Zum Schluss hätte ich noch eine andere Frage, und zwar soll man nachrechnen, dass die als C^ gegebenen Daten wirklich eine Kategorie ergeben:

[attach]9388[/attach]

Grafisch sähe das wohl etwa so aus:

[attach]9389[/attach]

Herzlichen Dank für die Hilfe!

14.12.2008, 18:08

Reksilat

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RE: Morphismen

Zitat:

..und was ist mit id_{Z/15Z} ?

Ist es so schwer sich die Identitätsabbildung vorzustellen? 1 geht auf 1, 2 auf 2 u.s.w.

Zu der Aufgabe:
Mich irritiert ein wenig, das die $\begin{eqnarray*} f_{X,Y,n} \end{eqnarray*}$ hier gar nicht definiert werden. Theoretisch könnten das beliebige Abbildungen sein, praktisch sollte aber $\begin{eqnarray*} f_{X,Y,n}:X\rightarrow Y \end{eqnarray*}$ gelten.

Es ist erstens zu zeigen, dass es zu jedem Objekt eine Identität in der Menge der Morphismen gibt, das ist hier offensichtlich der Fall. Und weiterhin muss man zeigen, dass die Verknüpfung von Morphismen assoziativ ist, d.h.
$\begin{eqnarray*} u\circ_{\hat{C}} (v\circ_{\hat{C}} w)=(u\circ_{\hat{C}} v)\circ_{\hat{C}} w \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} r,s,t\in Mor_{\hat{C}} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} s_{\hat{C}}(v)=t_{\hat{C}}(u) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_{\hat{C}}(w)=t_{\hat{C}}(v) \end{eqnarray*}$ sein muss. Dazu probiert man einfach alle möglichen Belegungen für $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ aus, das müssen ja immer Identitäten oder irgendwelche $\begin{eqnarray*} f_{X,Y,n} \end{eqnarray*}$ sein.

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