Vektorrechnung - Beweis (Skalarprodukt)

15.12.2008, 10:20	mmuehlba	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorrechnung - Beweis (Skalarprodukt) Hallo zusammen Und wieder einmal stehe ich vor einer kniffligen Aufgabe, welche morgen sehr wahrscheinlich zur Prüfung kommt Beweisen sie a . b = a . b . cos (a,b) Also eins ist ja mal klar - es handelt sich hier um den Hauptsatz des Skalarproduktes. Wir haben dazu in den Vorlesungen aber nur die Umformung auf cos (a,b) gemacht -> cos (a,b) = $\begin{eqnarray} \frac{a . b}{\|a\|.\|b\|} \end{eqnarray}$ Das ist ja wohl kaum ein Beweis - habt Ihr ne Ahnung was meine Professorin da meinen könnte? LG Mike
15.12.2008, 12:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist tatsächlich kein Beweis, sondern lediglich die Umkehrung des Satzes. Beweisen kann man diese Beziehung mittels des Cos-Satzes in dem Dreieck, das die beiden Vektoren bilden, denn die dem Winkel gegenüberliegende Seite ist die Länge des Vektors $\begin{eqnarray} \vec{a} - \vec{b} \end{eqnarray}$ . Benütze dazu die Gegebenheiten des sklaren Produktes (Distributivgesetz) und insbesondere die Tatsache, dass gilt: $\begin{eqnarray} \vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{a}^2 = \|\vec{a}\|^2 \end{eqnarray}$ Klappt's jetzt? mY+ Übrigens, die erste Zeile ist nicht richtig, da hast du rechts die Betragszeichen vergessen!
15.12.2008, 12:37	mmuehlba	Auf diesen Beitrag antworten »
Mensch Mythos - Du bist spitze - ich glaub ich habs jetzt - ich muss aber schnell mal fürn ne Stunde weg und schreib dann meine Vermutung rein!!!! LG Mike
15.12.2008, 15:06	mmuehlba	Auf diesen Beitrag antworten »
SO - jetzt bin ich wieder da: Also ich hoff ich hab das richtig verstanden Ich nehme für den Beweis den Kosinussatz, welcher auf Vektorebene so aussieht: $\begin{eqnarray} \|\vec{c}\|² = \|\vec{a}\|² + \|\vec{b}\|² - 2.\|\vec{a}\|.\|\vec{b}\| . cos \alpha \end{eqnarray}$ dann vertausche ich \|c\|² mit \|b-a\|² und beginne mit dem Umformen: $\begin{eqnarray} \|b-a\|² = \|\vec{a}\|² + \|\vec{b}\|² - 2.\|\vec{a}\|.\|\vec{b}\| . cos \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\vec{b}-\vec{a}) . (\vec{b}-\vec{a})\| = \vec{a}.\vec{a} + \vec{b} . \vec{b} - 2.\|\vec{a}\|.\|\vec{b}\| . cos \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{b}. \vec{b}-2.\vec{a}.\vec{b} + \vec{a}.\vec{a} = \vec{a}.\vec{a} + \vec{b} . \vec{b} - 2.\|\vec{a}\|.\|\vec{b}\| . cos \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2.\vec{a}.\vec{b} = - 2.\|\vec{a}\|.\|\vec{b}\| . cos \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{a}.\vec{b} = \|\vec{a}\|.\|\vec{b}\| . cos \alpha \end{eqnarray}$ Passt das so LG Mike
16.12.2008, 00:03	mmuehlba	Auf diesen Beitrag antworten »
Also da ich keine Antwort mehr bekomme, geh ich mal davon aus, dass es stimmt! Daher ein ganz großes DANKE an Dich LG Mike
16.12.2008, 02:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist nicht meine Art, keine Antwort mehr zu geben, auch wenn dann alles richtig ist. Ich war einfach noch nicht dazugekommen. Also die Rechnung hast du richtig gemacht, schön! Das freut Vielleicht etwas: Normalerweise lässt man rechts die Beträge und wandelt links die skalaren Quadrate in die der Beträge um, aber es geht natürlich auch andersrum! LGr mY+
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