Symmetrische Gruppen

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meisenknödel Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Gruppen
Hallo Leute,

ich bin im erstem Semester und habe doch noch einige Probleme.

Hier erstmal die Aufgabenstellung:

a) Schreiben Sie die folgenden Elemente von bzw. als Produkt elementfremder
Zykel:





b) Berechnen Sie für

c) Geben Sie in eine Permutation der Ordnung 60 und eine der Ordnung 21 an.

d) Bestimmen Sie ein Element maximaler Ordnung in .


Also ich habe wirklich keine Ahnung was ich da machen muss...
Würde mich freuen wenn mir jemand das ganze allgemein erklären könnte.
so dass ich es auf das konkrete beispiel enwenden kann Freude

Das wäre wirklich nett.

Liebe Grüße Meisenknödel smile
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

a) Die Zykelzerlegung ist doch nichts anderes als eine Zerlegung der Zahlen in jene die mittels pi aufeinander abgebildet werden können(Bahnen).

Also fängst du einfach mal mit 1 an. Die geht auf 6. Dann schaust du auf was geht die 6 etc. Also: (1 6 ...

b) Die Ordnung einer Permutation ist das kgV der Längen der einzelnen Zykeln. Also hat der Zykel hier Ordnung 4. Du kannst den Exponenten also modulo 4 reduzieren.

c), d) löst du mit dem Wissen das ich bei b) schon geschrieben habe
meisenknödel Auf diesen Beitrag antworten »

ach stimmt ja, das wäre dann

S8:
S10:

b)
also
wie berechne ich das dann??

c, d) Hier verstehe ich nicht wie ich das von voirher verwenden kann...

LG smile
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja a) stimmt

Bei b) Sorry, hatte nich gesehen dass die Zykel Elemente doppelt enthalten. Dann musst du erstmal das Produkt ausrechnen.

c) kgV(3,4,5) = 60, kgV(3,7)=21

d) bestimme das maximale kgV wobei die Summe der Längen nicht größer als 13 sein darf
meisenknödel Auf diesen Beitrag antworten »

und wie berechne ich das produkt bei b) smile

genau das stellt das problem für mich dar.
das habe ich in der vorlesung nicht verstanden wie das geht....


LG smile
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

(1354)(2587)
Das ist doch eine Komposition von Abbildungen.
Also schauen wir doch einmal:
1->1 unter dem ersten Zykel, dann 1->3, also insgesamt 1->3
2->5->4 also 2->4
3->3->5 also 3->5

So rechnest du alles aus und schreibst es dannach eben als Zykelzerlegung
 
 
meisenknödel Auf diesen Beitrag antworten »

ok habe jetzt bei b) dann

da das ja dann ein zykel der länge 7 is, müsste ich ja dann auch 110 mod 7 rechnen oder?

also dann hätte man

das müsste dann ja sein, oder?

und was mache ich dann noch mit dem ?? das auch hoch 5 oder dann hoch 110 mod 2 ??

LG smile
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig! Der Zweier muss dann natürlich hoch 110 mod 2 gerechnet werden, da dieser Zyklus ja mit dem Siebener nichts mehr zu tun hat.
meisenknödel Auf diesen Beitrag antworten »

bei c) wäre das dann z.b. für Ordnung 60 oder? und für Ordnung 21: oder??

und wäre es bei d) ein Element der Ordnung 42 (kgV(6,7)) also z.b.:

LG smile

Ach und warum rechne ich eigentlich bei b) dann nich auch noch die beiden übrigen zykel zusammen? also noch den mit (69) dazu und nehme dann mod 9??
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

c und d sieht gut aus.

Zu deiner b) Frage: Das Zusammenrechnen macht nur Sinn falls die Zahlen in den Zykeln nicht paarweise verschieden sind. Es ist (123)(456) = (456)(123) aber nicht (12)(13) = (13)(12)
meisenknödel Auf diesen Beitrag antworten »

bei d) is mir grad noch aufgefallen, dass ordnung 60 nocvh höher is:
mit kgV(3,4,5) .... 42 wäre also nich die maximal orndung.... richtig??

und zu b) wäre das dann also für (69) einfach wieder (69) weil es ja mod2 hoch 0 wäre. oder??
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

b) Der Zyklus (6 9) hat die Ordnung 2. Außerdem sind 0 und 2 modulo 2 das gleiche, also kannst Du auch schreiben. Ansonsten ist irgendwas hoch null ist immer 1 oder in diesem Fall das Einselement.

d) 60>42 das ist richtig Big Laugh
(Hätte man auch schon mit c) sehen können)

Wie sieht man, dass das maximal ist: Schau Dir an, wie viele teilerfremde Faktoren es für die Ordnung solcher Elemente gibt und dann sieht man bald, dass es weniger als vier sind (2+3+5+7>13) aber man mit zwei oder weniger Faktoren nicht auf 60 kommt. Mit ein wenig Fallunterscheidung für 13>=a+b+c sieht man dann, dass 60 maximal ist (Man kann dazu argumentieren, dass für a+b=n das Produkt a*b gerade für a=b maximal wird).

Alternativ kann man auch für a+b+c=13 die Funktion a*b*c maximieren, um den größtmöglichen theoretischen Wert zu erhalten (<82) und dann alle Zahlen 61,62,..,81 als Ordnungen von Elementen in der Gruppe ausschließen
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