Lie-Klammer

17.12.2008, 13:15

crazyy

Lie-Klammer

hallo leute,

könnt ihr für diese aufgabe tipps geben wie ich auf die lösung komme,

Wir haben einen Körper K und wir haben den K-vektorraum aller 2x2-Matrizen: V=Matrix(2,K)

wir haben eine 2x2 Matrix

X= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wir betrachten den durch die Lie-Klammer [X,Y]= XY-YX
gegebenen Endormorphismus

f: $\begin{eqnarray*} V->V, Y-> [X,Y] \end{eqnarray*}$

wie kann ich eine basis von V wählen und dadurch die Matrix M $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Matrix(4,K) von f bezüglich dieser Basis bestimmen

17.12.2008, 17:32

Reksilat

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RE: Lie-Klammer
Im allgemeinen nimmt man folgende Standardbasis: $\begin{eqnarray*} \{e_{11},e_{12},e_{21},e_{22}\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} e_{ij} \end{eqnarray*}$ die Matrix ist, die an der Stelle (i,j) eine Eins hat und ansonsten nur Nullen.

Dann rechnest Du die Bilder dieser Basisvektoren aus.

17.12.2008, 19:24

crazyy

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danke für deine antwort, ich weiss nicht wie ich die bilder machen soll. kannst du mir eins zeigen wie das geht damit w mir das klar wird und uch versuche es dann zu machen

lg crazyy

17.12.2008, 19:34

Reksilat

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RE: Lie-Klammer
Es ist $\begin{eqnarray*} f(e_{ij})=[X,e_{ij}]=Xe_{ij}-e_{ij}X \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_{ij} \end{eqnarray*}$ sind bekannte Matrizen, das kann man ausrechnen.

17.12.2008, 21:03

crazyy

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ja wir kennen

X= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_{ij} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 &0 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich habe mal $\begin{eqnarray*} e_{11} \end{eqnarray*}$ versucht.

f( $\begin{eqnarray*} e_{12} \end{eqnarray*}$ )= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 &0 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das ein richtiger anfang

17.12.2008, 21:06

Reksilat

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Wie soll das gehen? V ist der Vektorraum der 2x2-Matrizen und da sind die Basisvektoren natürlich auch ebensolche. Das Produkt, welches bei Dir ganz unten steht ist ja sonst gar nicht definiert. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} e_{12}= \begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.12.2008, 21:37

crazyy

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ich habs mal versucht:

f( $\begin{eqnarray*} e_{11} \end{eqnarray*}$ )= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -f \\ g & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

f( $\begin{eqnarray*} e_{12} \end{eqnarray*}$ )= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -g & e-h \\ 0& h \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

f( $\begin{eqnarray*} e_{21} \end{eqnarray*}$ )= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} f & 0 \\ h-e& -f \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

f( $\begin{eqnarray*} e_{22} \end{eqnarray*}$ )= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & f \\ h-g& -h \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.12.2008, 21:57

Reksilat

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Noch nicht ganz. Es ist:
$\begin{eqnarray*} f(e_{12})=\begin{pmatrix} -g & e-h \\ 0& { g} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und beim letzten stimmt die zweite Zeile nicht.

Weiter:
$\begin{eqnarray*} f(e_{11})=-f\cdot e_{12}+g\cdot e_{21} \end{eqnarray*}$

Das macht man mit dem Rest auch und liest daraus die Matrixdarstellung ab.
(Wurde in der Originalaufgabenstellung eigentlich auch die Bezeichnung f doppelt belegt?)

17.12.2008, 22:20

crazyy

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habe mich nur vertippt traurig

ich verstehe nicht wie du auf:

f( $\begin{eqnarray*} e_{11} \end{eqnarray*}$ )=-f $\begin{eqnarray*} e_{12} \end{eqnarray*}$ +g $\begin{eqnarray*} e_{21} \end{eqnarray*}$

kommst:

bin mir nicht sicher aber habe mal versucht:

f( $\begin{eqnarray*} e_{12} \end{eqnarray*}$ = -g $\begin{eqnarray*} e_{21} \end{eqnarray*}$ + (e-h) $\begin{eqnarray*} e_{11} \end{eqnarray*}$ + g $\begin{eqnarray*} e_{12} \end{eqnarray*}$

17.12.2008, 22:35

Reksilat

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Zitat:

ich verstehe nicht wie du auf:
f( $\begin{eqnarray*} e_{11} \end{eqnarray*}$ )=-f $\begin{eqnarray*} e_{12} \end{eqnarray*}$ +g $\begin{eqnarray*} e_{21} \end{eqnarray*}$
kommst:

Bei $\begin{eqnarray*} f(e_{11}) \end{eqnarray*}$ steht an der Stelle (1,2) der Wert $\begin{eqnarray*} -f \end{eqnarray*}$ und an der Stelle (2,1) der Wert $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ . Das ist nunmal die Darstellung bezüglich der Standardbasis:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} =ae_{11}+be_{12}+ce_{21}+de_{22} \end{eqnarray*}$
So schwer?

Tipp: Eine Zeile ohne Text kannst Du auch komplett in einen Latex-tag setzen Augenzwinkern

17.12.2008, 23:08

crazyy

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ok ich mache es mal zu ende:

$\begin{eqnarray*} f(e_{11})= -f e_{12}+ g e_{21} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(e_{12})= -g e_{11}+ (e-h) e_{12} + g e_{22} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(e_{21})= f e_{11}+ (h-e) e_{21} -f e_{22} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(e_{22})= f e_{12}+ -g e_{21} +(h-h) e_{22} \end{eqnarray*}$

so die Matrix sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix}0 & -g & f &0 \\ -f & (e-h) & 0 & f \\ g & 0 & (h-e) & -g \\ 0 & g & -f & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt es so?

17.12.2008, 23:13

Reksilat

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Sollte so stimmen. Freude