punktweise + stetig = gleichmäßg?

17.12.2008, 14:40

Duedi

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punktweise + stetig = gleichmäßg?

Hallo!

Sollen folgende Behauptung beweisen:

Ist $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktionenfolge auf X und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ihr punktweiser Grenzwert, außerdem stetig, so konvergiert $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ außerdem gleichmäßig.

Habe mir jetzt die Voraussetzungen aufgeschrieben:

punktweise Konvergenz:

$\begin{eqnarray*} \forall x\in X \lim\limits_{n\to\infty}f_n(x) = f(x) \end{eqnarray*}$

f stetig:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon~\exists \delta:~~|f(x)-f(x_0)|< \varepsilon \Rightarrow |x-x_0|< \delta \end{eqnarray*}$

Leider habe ich keine Idee. Rein anschaulich ist die Sache klar, das typische Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} f_n: x\mapsto x^n \end{eqnarray*}$ konvergiert ja punktweise, aber nicht gleichmäßig, die Grenzfunktion ist aber auch nicht stetig.

17.12.2008, 15:21

tmo

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Die c) in diesem Thread ist meiner Meinung nach ein Gegenbeispiel zu der zu beweisenden Aussage verwirrt

verwirrt

Die Grenzfunktion ist stetig, aber die Konvergenz ist nicht gleichmäßig (Es ist $\begin{eqnarray*} \sup_{x \in [0,1]} |F_n(x)-F(x)| \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ )

17.12.2008, 15:35

Duedi

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Ah habe noch eine Zusatzinfo nicht beachtet: X soll ein kompakter metrischer Raum sein. Kann das der Grund sein?

17.12.2008, 18:05

Mathespezialschüler

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Wenn du dir den Link von tmo mal anschaust, dann siehst du, dass der Definitionsbereich dort auch kompakt ist.

Soll die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ vielleicht noch monoton sein? Dann stimmt die Aussage nämlich (falls $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auch kompakt sein soll).

17.12.2008, 18:09

Duedi

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autsch, ja, wie konnte ich das übersehen. Das steht in der Teilaufgabe darüber.

17.12.2008, 18:16

Mathespezialschüler

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Wie fast immer bei solchen Beweisen mit Kompaktheit gibt es zwei Möglichkeiten: Einen direkten Beweis mit der Überdeckungskompaktheit und einen indirekten mit der Folgenkompaktheit. Du kannst dir einen aussuchen.

Bei beiden ist es nützlich, sich zuerst hinzuschreiben, was man schon weiß und dann mal weiter zu gucken. Such dir also eine der beiden Beweismöglichkeiten aus und schreib das erstmal hin!

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17.12.2008, 18:36

Duedi

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Ich versuchs mal so:

Ich weiß:

X ist kompakt
$\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ist eine stetige, monoton wachsende Funktionenfolge und konvergiert punktweise gegen f
f ist stetig

Aus dem ersten Punkt kann ich folgern, dass jede Folge auf X eine konvergente Teilfolge hat, also auch $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ . Doch das weiß ich erstens schon (oder zählt punktweise Konvergenz hier nicht?) und zweitens ist mit der Konvergenz der Teilfolge noch nicht viel über die Funktion selbst gesagt.

17.12.2008, 18:48

Mathespezialschüler

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Eine Folge von Werten aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ besitzt immer eine konvergente Teilfolge. Eine Folge von Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n:X\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist etwas ganz anderes!

Da du dich jetz nich geäußert hast, schlage ich einmal vor, den Weg über die Folgenkompaktheit zu nehmen (vorausgesetzt, ihr habt die Kompaktheit so definiert bzw. wisst, dass beide Beschreibungen äquivalent sind?!). Angenommen, die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert nicht gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Was bedeutet das? Einfach mal die Definition der gleichmäßigen Konvergenz hernehmen und die Aussage verneinen.

17.12.2008, 18:52

Duedi

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Danke für den Tipp, ich werde es mal versuchen. Bezüglich der Folgenkompaktheit: Wir hatten den Begriff der Kompaktheit mithife der Überdeckungen gemacht und dann gesagt, dass jede Folge auf einem kompakten Raum eine konvergente Teilfolge hat. Ist es das, was du meinst?

17.12.2008, 18:54

Mathespezialschüler

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Ja, genau. Wenn du möchtest, können wir es auch mit Überdeckungskompaktheit machen, aber du hattest dich ja nicht geäußert ...

17.12.2008, 18:57

Duedi

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ok hier stoße ich bereits auf ein Problem: Wie verneint man die Aussage

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 ~\exists N_\varepsilon:~~||f-f_n||\stackrel{k>N_\varepsilon}{\Rightarrow} |f(x)-f_k(x)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ ?

Also die Quantoren vertauschen? Und was mache ich mit dem Folgepfeil? Lasse ich den so stehen? Muss ich ein Relationszeichen umdrehen? Welches? Beide?

Bin verwirrt unglücklich

unglücklich

17.12.2008, 19:27

Mathespezialschüler

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Erstmal schreibst du nochmal die richtige Definition auf bitte. Für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ soll das gelten? Und was hat das, was da links vom Implikationspfeil steht, da zu suchen?

17.12.2008, 19:31

Duedi

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Mein Versuch:

$\begin{eqnarray*} \exists \varepsilon >0:~~||f-f_n||<\varepsilon \Rightarrow |f(x)-f_k(x)|>\varepsilon \end{eqnarray*}$

Das kann aber nicht sein, da $\begin{eqnarray*} ||f-f_n|| = \sup\{|f(x)-f_n(x)|\} < \varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f(x)-f_k(x)| < |f(x)-f_n(x)| \end{eqnarray*}$ , was zu einem Widerspruch führt?

17.12.2008, 19:32

Duedi

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genauso hatten wie gleichmäßige Konvergenz definiert, mit der Supremumshalbnorm. Und x soll aus X sein, hatte ich vergessen.

17.12.2008, 19:39

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Duedi
$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 ~\exists N_\varepsilon:~~||f-f_n||\stackrel{k>N_\varepsilon}{\Rightarrow} |f(x)-f_k(x)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ ?

Guck dir das nochmal an. Soll der Implikationspfeil zur Aussage dazugehören oder war das dann schon eine Folgerung von dir aus der Definition? Bei letzterem hast du das dann sehr konfus aufgeschrieben. Und in " $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 ~\exists N_\varepsilon:~~||f-f_n|| \end{eqnarray*}$ " steckt auch gar keine Aussage drin. Also bitte nochmal eine vollständige Definition.

Dein Versuch sieht leider sehr unstrukturiert aus und ich kann dem absolut nicht folgen. Schon die erste Zeile ergibt keinen Sinn:

Zitat:

Original von Duedi
$\begin{eqnarray*} \exists \varepsilon >0:~~||f-f_n||<\varepsilon \Rightarrow |f(x)-f_k(x)|>\varepsilon \end{eqnarray*}$

Was soll das bedeuten? Warum ist erst die Supremumsnorm kleiner als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und dann ist der Abstand der Bildwerte an der Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ größer als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ? Für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ soll das überhaupt gelten? Für welche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ soll es gelten. Gewöhn dir bitte mal an, auf solche Kleinigkeiten, die aber unglaublich wichtig sind und ohne die solche Aussagen keinen Sinn ergeben, zu achten! Man muss immer genau mit angeben, für was etwas gelten soll, was man annimmt usw.

17.12.2008, 19:40

Duedi

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Ah ich habe gerade im dtv-Atlas nachgeschlagen, hier wird das sehr viel einfacher definiert, nämlich mit:

$\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists N_\varepsilon:~~\forall x\in X, n>N_\varepsilon~~|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Annahme des Gegenteils:

$\begin{eqnarray*} \forall N_\varepsilon ~\exists \varepsilon >0:~\forall x\in X, n>N_\varepsilon ~~|f_n(x)-f(x)|\geq \varepsilon \end{eqnarray*}$

So korrekt?

EDIT: jetzt richtig?

17.12.2008, 19:42

Duedi

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Sry, die erste Definition ist natürlich Blödsinn, neben dei Supremumshalbnorm, vor dem Implikationspfeil sollte noch ein $\begin{eqnarray*} <\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Und der Folgepfeil war so in der Definition drin. Aber jetzt da ich die jetzt woanders nachgeschlagen habe, verstehe ich die Definition glaub ich besser.

17.12.2008, 19:44

Mathespezialschüler

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Du meinst sicher, dass " $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergent" äquivalent dazu sei. Da fehlt aber noch ein Quantor für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Für welche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ soll denn die hintere Ungleichung gelten?

Zitat:

Original von Duedi
Annahme des Gegenteils:

$\begin{eqnarray*} \exists \varepsilon >0: ~~|f_n(x)-f(x)|\geq 0 \end{eqnarray*}$

Dementsprechend fehlt hier auch wieder alle möglichen Variablen und Quantoren. Für welche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ soll das gelten? Und warum eigentlich $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ ? Das ist immer erfüllt.

Versuch mal, ein bisschen mehr Ruhe reinzubringen und schreib nicht einfach immer drauf los, sondern denk zumindest vorher einmal kurz drüber nach und überprüfe, ob du auch bei allen Variablen angegeben hast, für welche Werte dieser Variablen das jeweils gilt.

17.12.2008, 19:46

Duedi

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Ok ich werde es gleich korrigieren. Einen Moment

//Beitrag oben editiert

17.12.2008, 19:54

Mathespezialschüler

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Die Definition stimmt jetzt, die Verneinung aber nicht. In der Definition sollte vielleicht genauer folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} \forall\ \varepsilon >0\ \exists\ N_\varepsilon\in\mathbb N\ \forall\ x\in X\ \forall\ n>N_\varepsilon\ :\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Bei der Verneinung werden All- zu Existenzquantoren und umgekehrt, die Reihenfolge bleibt aber erhalten! Du hast die Reihenfolge vertauscht. Außerdem musst du natürlich alle Quantoren verändern. Die Aussage, die am Ende steht, wird einfach verneint, das hast du ja schon richtig gemacht.

17.12.2008, 19:59

Duedi

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ah gut, vielen Dank, das war mir bisher nie klar. Ich versuche mal, den Widerspruch rauszufinden.

17.12.2008, 20:08

Duedi

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Hm ich finde keinen. Ich denke nicht, dass es ein Problem ist, wenn man ein Epsilon findet, sodass der Abstand zwischen Grenzfunktion und einem beliebigen Element der Funktionenschar größer ist. Vielleicht ist das $\begin{eqnarray*} \exists x \end{eqnarray*}$ wichtig? Wüsste aber nicht, wie.

17.12.2008, 20:36

Mathespezialschüler

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Ja, natürlich ist es wichtig. Also nochmal die Verneinung: Es gibt ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon_0>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ (das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ersetzt hier das $\begin{eqnarray*} N_{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ , da diese Schreibweise bei der Verneinung keinen Sinn mehr ergibt) ein $\begin{eqnarray*} n=n_k>k \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} x=x_k \end{eqnarray*}$ (die hängen beide von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ab!) existiert mit

$\begin{eqnarray*} |f_{n_k}(x_k)-f(x_k)|\geq\varepsilon_0 \end{eqnarray*}$ .

Daraus erhält man insbesondere eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_k) \end{eqnarray*}$ mit Punkten aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Und jetzt kommt die Folgenkompaktheit.

17.12.2008, 21:05

Duedi

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Ah, Idee^^

Wenn $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ eine Folge ist auf einem kompakten Raum, gibt es eine auf X konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} x_{k_i} \end{eqnarray*}$ davon. Außerdem kann man dann $\begin{eqnarray*} (f_{n_k}(x_{k_i}) \end{eqnarray*}$ als Folge auffassen, welche ebenfalls konvergiert. Das stünde dann im Widerspruch zur Behauptung. So irgendwie?

17.12.2008, 21:36

Mathespezialschüler

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Warum steht das im Widerspruch zur Behauptung? Zumal ein Widerspruch zur Behauptung einem nichts bringt. Wenn dann will man einen Widerspruch zu einer Voraussetzung oder zu einer Annahme.

17.12.2008, 21:39

Duedi

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jap das meinte ich. Ich habe jetzt allerdings auch keine Idee mehr.

17.12.2008, 22:08

Mathespezialschüler

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Ok, $\begin{eqnarray*} (x_k) \end{eqnarray*}$ besitzt eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} \left(x_{k_i}\right) \end{eqnarray*}$ , die gegen ein $\begin{eqnarray*} y\in X \end{eqnarray*}$ konvergiert. Damit wir nicht tausende von Indizes haben, benenne ich die Folge einfach mal um bzw. schreibe das Ergebnis nochmal anders auf:

Es gibt eine Folge $\begin{eqnarray*} m_l \end{eqnarray*}$ natürlicher Zahlen mit $\begin{eqnarray*} m_l>l \end{eqnarray*}$ und eine Folge $\begin{eqnarray*} (y_l) \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die gegen $\begin{eqnarray*} y\in X \end{eqnarray*}$ konvergiert, sodass für alle $\begin{eqnarray*} l\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} |f_{m_l}(y_l)-f(y_l)|\geq\varepsilon_0 \end{eqnarray*}$

erfüllt ist. Da $\begin{eqnarray*} f_{m_l}(y) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ konvergiert, gibt es ein $\begin{eqnarray*} l_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} l\geq l_0 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} |f_{m_l}(y)-f(y)|<\varepsilon_0 \end{eqnarray*}$

gilt. Wegen der Stetigkeit der Funktion $\begin{eqnarray*} |f_{m_{l_0}}-f| \end{eqnarray*}$ gibt es nun aber ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} z\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d(y,z)<\delta \end{eqnarray*}$ auch immer

$\begin{eqnarray*} |f_{m_{l_0}}(z)-f(z)|<\varepsilon_0 \end{eqnarray*}$

gilt. Zu diesem $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ gibt es aber ein $\begin{eqnarray*} m_{l_1}\geq m_{l_0} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d(y_{l_1},y)<\delta \end{eqnarray*}$ . Daraus erhält man

$\begin{eqnarray*} |f_{m_{l_0}}(y_{l_1})-f(y_{l_1})|<\varepsilon_0 \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ monoton gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ geht, und $\begin{eqnarray*} m_{l_1}\geq m_{l_0} \end{eqnarray*}$ gilt, folgt daraus auch

$\begin{eqnarray*} |f_{m_{l_1}}(y_{l_1})-f(y_{l_1})|<\varepsilon_0 \end{eqnarray*}$ .

Und nun hat man einen Widerspruch zur Annahme.

Das darfst du jetz erstmal verdauen und dann Fragen stellen, wenn du möchtest.

18.12.2008, 15:22

Duedi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Da $\begin{eqnarray*} f_{m_l}(y) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ konvergiert, gibt es ein $\begin{eqnarray*} l_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} l\geq l_0 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} |f_{m_l}(y)-f(y)|<\varepsilon_0 \end{eqnarray*}$

gilt.

Ist das nicht die Definition der gleichmäßigen Konvergenz? Und wenn ja, warum setzst du die an, die wollen wir doch erst beweisen. Oder ist das vielmehr die punktweise Konvergenz, die du meinst? Kann man dann hier einfach so für die punktweise Konvergenz die Definition des Limes mit Epsilon ansetzen?

18.12.2008, 15:27

Duedi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Zu diesem $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ gibt es aber ein $\begin{eqnarray*} m_{l_1}\geq m_{l_0} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d(y_{l_1},y)<\delta \end{eqnarray*}$ . Daraus erhält man

$\begin{eqnarray*} |f_{m_{l_0}}(y_{l_1})-f(y_{l_1})|<\varepsilon_0 \end{eqnarray*}$ .

Und diesen Schritt verstehe ich auch noch nicht. Könntest du das genauer erklären?

18.12.2008, 17:17

Mathespezialschüler

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Nein, das erste ist die Definition der punktweisen Konvergenz, da $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ja ein fester und eindeutig definierter Wert ist. Nach der Voraussetzung konvergiert also die Folge $\begin{eqnarray*} (f_{m_l}(y)) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Duedi

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Zu diesem $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ gibt es aber ein $\begin{eqnarray*} m_{l_1}\geq m_{l_0} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d(y_{l_1},y)<\delta \end{eqnarray*}$ . Daraus erhält man

$\begin{eqnarray*} |f_{m_{l_0}}(y_{l_1})-f(y_{l_1})|<\varepsilon_0 \end{eqnarray*}$ .

Und diesen Schritt verstehe ich auch noch nicht. Könntest du das genauer erklären?

Was daran verstehst du nicht? Die Ungleichung ergibt sich, wenn man $\begin{eqnarray*} d(y_{l_1},y)<\delta \end{eqnarray*}$ schon hat, einfach aus der Ungleichung davor. Setze dafür $\begin{eqnarray*} z=y_{l_1} \end{eqnarray*}$ . Dass es so ein $\begin{eqnarray*} m_{l_1} \end{eqnarray*}$ geben muss, sieht man so: Da $\begin{eqnarray*} y_l \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ konvergiert, liegen fast alle Glieder diese Folge in der $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Und jetzt wählt man $\begin{eqnarray*} l_1 \end{eqnarray*}$ so groß, dass $\begin{eqnarray*} y_{l_1} \end{eqnarray*}$ in dieser Umgebung liegt und dass $\begin{eqnarray*} m_{l_1}\geq m_{l_0} \end{eqnarray*}$ gilt.

18.12.2008, 19:02

Duedi

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OK, ich glaube, ich habs gerafft. Danke für deine Geduld Freude

Freude

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