Basis, wie zeigen das Erzeugendensystem?

17.12.2008, 15:56

congo.hoango

Basis, wie zeigen das Erzeugendensystem?

Folgende Aufgabe:

Hausaufgabe 25
Gegeben sind die reellen Vektorräume $\begin{eqnarray*} V = R^4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W = R^3 \end{eqnarray*}$ sowie die Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V--> W \end{eqnarray*}$ mit f(x1, x2, x3, x4) = (x2 + x3, x3 + x4, x2 - x4). Zeigen Sie, dass f linear ist und berechnen Sie Basen für das Bild und den Kern von f.

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Das f linear ist, habe ich gezeigt. Nun will ich ne Basis bestimmen.
So, nun habe ich gezeigt, dass f(x3) lin. abhängig ist und f(x2) und f(x4)lin. unabhängig sind.
Jetz muss ich ja noch zeigen, dass f(V) von f(x2) und f(x4) erzeugt wird.

Wie mache ich das?

Vielen Dank schonmal im Voraus!

17.12.2008, 16:04

klarsoweit

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RE: Basis, wie zeigen das Erzeugendensystem?
Am besten bildest du die Bilder der Einheitsvektoren, trägst sie zeilenweise in eine Matrix ein und bringst diese auf Zeilenstufenform.

17.12.2008, 16:57

congo.hoango

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Also Einheitsvektoren:

$\begin{eqnarray*} (x_2 + x_3, 0, 0) und (0, 0, x_2 - x_4) \end{eqnarray*}$

In Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Umgeformt erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das heißt nun, dass $\begin{eqnarray*} f(x_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_4) \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ sind?

17.12.2008, 18:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von congo.hoango
Also Einheitsvektoren:

$\begin{eqnarray*} (x_2 + x_3, 0, 0) und (0, 0, x_2 - x_4) \end{eqnarray*}$

Hää?

Die Bilder der Einheitsvektoren sind:
(0, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0) und (0, 1, -1)

Zitat:

Original von congo.hoango
Das heißt nun, dass $\begin{eqnarray*} f(x_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_4) \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ sind?

2 Vektoren können niemals ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ sein. Allenfalls von f(V). Und in der Tat bilden $\begin{eqnarray*} f(x_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_4) \end{eqnarray*}$ eine Basis von f(V).

21.12.2008, 17:02

congo.hoango

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Zitat:

Original von klarsoweit
2 Vektoren können niemals ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ sein. Allenfalls von f(V). Und in der Tat bilden $\begin{eqnarray*} f(x_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_4) \end{eqnarray*}$ eine Basis von f(V).

Aber f(V) wird doch auf W abgebildet und W ist doch gleich $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ . Heißt das nicht, dass ich eine Basis von $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ finden soll?

21.12.2008, 18:38

tigerbine

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Vielleicht hilft dir auch [Artikel] Basis, Bild und Kern etwas weiter.

22.12.2008, 08:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von congo.hoango
Aber f(V) wird doch auf W abgebildet und W ist doch gleich $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ . Heißt das nicht, dass ich eine Basis von $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ finden soll?

Du mußt erstmal deine Verständnisprobleme bewältigen.
f(V) wird nicht auf W abgebildet, sondern V wird unter der Abbildung f auf W abgebildet. Es ist aber nicht zwingend gesagt, daß dabei jedes Element von W von der Abbildung f erreicht wird. f(V) ist also eine Teilmenge von W und maximal der komplette Vektorraum W.

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