Beweis, Matrizen |
17.12.2008, 18:11 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Beweis, Matrizen es geht um einen Beweis, bei dem ich überhaupt keinen Ansatz habe. Ich kann zwar Beispiel bringen, aber das nützt ja nichts. Es sei C element M(m x n) eine Matrix von Rang k. Man beweise: Es gibt Matrizen A element M(m x k) und B element M(k x n) mit C=AB Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. k=m für k<n k=n für k<m Und irgendwas mit lin. abh./unabh.? |
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17.12.2008, 20:56 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Reicht das, wenn ich schreibe, dass es solche Matrizen A und B mit der Eigenschaft gibt, dass ? Bew: |
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17.12.2008, 21:01 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, natürlich nicht. Warum sollte das reichen? In der Mathematik muss man alles begründen können. Kannst du also begründen, dass das reicht? |
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17.12.2008, 21:27 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich muss halt beweisen, dass die Matrix AB den Rang k hat. Wenn m=n=k, dann gehts ja, dann haben wir immer k x k - Matrizen. Dann muss man die Bedingung aufstellen, dass die Spaltenvektoren von A und B jeweils linear unabhängig sind. |
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17.12.2008, 21:41 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Und was sind und dabei? Du musst doch solche Matrizen finden mit ! |
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17.12.2008, 22:20 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich weiß gar nicht, wie ich das ansetzen soll. |
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18.12.2008, 21:38 | TommyAngelo | Auf diesen Beitrag antworten » |
So, hab mir mal was überlegt: A ist zb. die Einheitsmatrix. Sie kann mit möglichen Nullzeilen unter der k-ten Zeilen ergänzt sein, und B ist die transponierte Matrix A, wobei es bei der Matrix B egal ist, was in der k+1-ten bis n-ten Spalte steht, weil wir ja schon die Nullzeilen (k+1 bis m) bei der Matrix A haben. Und B halt die transponierte von A. Dann müssten doch beide den Rang k haben. Anders ausgedrückt: Eine Matrix A mit Rang k, die ab der k+1-Zeile bis m Nullzeilen enthält/(enthalten kann). A* sei die "abgeschnittene" (ohne Nullzeilen) k x k - Matrix von A. Dann ist B* die transponierte von A*. B* kann jetzt mit beliebigen Spalten von k+1 bis n ergänzt werden. |
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