Bedingte Verteilungen

17.12.2008, 21:32

Fletcher

Bedingte Verteilungen

Guten Abend,

jetzt komme ich zu einem momentan noch schwer überschaubaren Gebiet. Ich habe im Skript und in zwei Büchern gelesen und jedesmal ist alles anders definiert, so dass mir noch etwas das Gespür dafür fehlt.

Hier mal zu der Aufgabe:

1) Seien X und Y reelle Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte f mit
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R} f(x,y)\lambda(dx)>0~\forall~y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} h:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ messbar mit existierenden 1. Moment. Zeige, dass fast sicher gilt:

$\begin{eqnarray*} E[h(X)|Y]=\frac{\int_{\mathbb R}h(x)f(x,Y)\lambda(dx)}{\int_{\mathbb R}f(x,Y)\lambda(dx)} \end{eqnarray*}$

Meine Gedanken:
Zunächst einmal würde ich sagen, dass diese Funktion f eine Übergangswahrschenlichkeit ist, oder?

Desweiteren habe ich im Klenke folgendes gefunden: Sei $\begin{eqnarray*} X \in L^1(P) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A\in \mathcal A \end{eqnarray*}$ . Dann setze für $\begin{eqnarray*} P(A)>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E[X|A]=\int X(\omega)P[d\omega|A]=\frac{E[1_A X]}{P(A)} \end{eqnarray*}$

Da dieseFormel für jedes $\begin{eqnarray*} A \in \mathcal A \end{eqnarray*}$ gilt, also insbesonder auch für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die obige Formel ja gezeigt, aber wirklich verstanden habe ich dabei nicht viel.

Kann mir jemand etwas weiterhelfen hier meine Gedanken zu ordnen?

2) Seien X und Y unabhängig und exponentialverteilt zum Parameter $\begin{eqnarray*} \theta >0 \end{eqnarray*}$
Bestimme $\begin{eqnarray*} E[X|X+Y] \end{eqnarray*}$ und die bedingte Verteilung $\begin{eqnarray*} P(X\leq x|X+Y) \end{eqnarray*}$ .

Brauche ich hier wieder die von X+Y erzeugte Sigma-Algebra? Hier geht das doch nicht mehr wie bei den Aufgaben letzter Woche. Tue mich da momentan wirklich schwer.

Vielen dank und schöne Grüße.

18.12.2008, 08:59

Fletcher

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Mein Problem bei der 1) ist auch, dass ich das $\begin{eqnarray*} f(x,Y) \end{eqnarray*}$ nicht richtig einordnen kann. Vielleicht weiß da jemand Rat verwirrt

18.12.2008, 09:08

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$\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ ist die zweidimensionale Dichte, also zunächst mal nur einfach eine bestimmte messbare Funktion. $\begin{eqnarray*} f(x,Y) \end{eqnarray*}$ ist dann eine Zufallsgröße, die konstruktionsbedingt $\begin{eqnarray*} \sigma(Y) \end{eqnarray*}$ -messbar ist. Hilft das erstmal weiter?

18.12.2008, 09:16

Fletcher

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Das diese Zufallsgröße bzgl. der von Y erzeugten Sigma-Algebra messbar ist habe ich mir schon gedacht. Ist das nun ein Übergangskern oder nicht?
Wir haben den Satz von Ionecsu-Tulcea durchgenommen und ich sehe die Sache hier so:
Wir haben zwei W-Räume und dann einen Produktraum dieser beiden W-Räume. Auf dem einen W-Raum lebt die ZV X und auf diesen W-Raum ist das Maß das Lebesgue-Maß. Dieses f(x,y) beschreibt nun wie ich von diesem Raum auf den Produktraum komme und dass darauf existierende Maß.

Aber wie genau gehe ich im Beweis der Formel vor? Das verstehe ich nicht.

18.12.2008, 10:02

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Zitat:

Original von Fletcher
Wir haben zwei W-Räume und dann einen Produktraum dieser beiden W-Räume. Auf dem einen W-Raum lebt die ZV X und auf diesen W-Raum ist das Maß das Lebesgue-Maß. Dieses f(x,y) beschreibt nun wie ich von diesem Raum auf den Produktraum komme und dass darauf existierende Maß.

Damit bin ich nicht einverstanden: $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ ist ein Zufallsvektor auf dem W-Raum, und $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ beschreibt dessen Dichte bzgl. des zweidimensionalen Lebesgue-Maßes $\begin{eqnarray*} \lambda^2 = \lambda \times \lambda \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ ist also insbesondere KEIN Kern, vielleicht verwechselst du das mit $\begin{eqnarray*} f(y \bigm| x) = \frac{f(x,y)}{\int\limits_{\mathbb{R}} f(x,y) ~ \dd y} \end{eqnarray*}$ , das wäre einer.

Zitat:

Original von Fletcher
Aber wie genau gehe ich im Beweis der Formel vor?

Da muss ich zunächst leider passen: Heuristisch ist die Formel klar, aber exakt maßtheoretisch ist der Beweis sicher nicht einfach - kommt natürlich ganz drauf an, was man an Vorarbeiten alles zur Verfügung hat. Da weiß ich natürlich überhaupt nicht, wie es bei eurem Vorlesungsaufbau aussieht. Und was Ionescu-Tulcea betrifft: Von dem habe ich schon mal gehört, aber das ist über 10 Jahre her, und das Gedächtnis lässt nach. Augenzwinkern

Leider habe ich z.Zt. auch keine diesbezügliche Literatur griffbereit (heute abend vielleicht), also kannst du mir da auf die Sprünge helfen?

18.12.2008, 16:57

Fletcher

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Tut mir leider, aber heute morgen musste ich in die Vorlesung. Augenzwinkern

Der Satz von Ionescu-Tulcea sagt aus, wenn man zwei messbare Räume hat und auf einem der beiden Räume ein Maß $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und zusätzlich noch eine Übergangswahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ , dann kann man ein Maß auf dem Produktraum finden mit: $\begin{eqnarray*} Q(A_1 \hbox{x} A_2)=\int_{A_1} \kappa(\omega,A_2)\mu(d\omega) \end{eqnarray*}$ .

Das ist aber nun ohnehin hinfällig, weil $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ eine Dichte und kein Übergangskern ist. Ich hatte das nicht verwechselt, sondern einfach nicht gewusst. unglücklich

Mit der von mir bereits erwähnten allgemeinen Formel aus dem Buch von Hr. Klenke kann man die Aussage denke ich leicht zeigen, allerdings ist mir dennoch nicht klar was hier eigentlich zu tun ist. Vielleicht fällt dir noch etwas ein? Augenzwinkern

zu Aufgabe 2)
Hast du hier vielleicht mal einen Tip wie man da vorzugehen hat? Da handelt es sich ja um ein etwas konkreteres Beispiel, aber auch hier weiß ich nicht was zu tun ist.
Ich bin für die Bedingte Erwartung wieder von der Definiton ausgegangen und das die beiden Integrale identisch sein müssen, das heißt konkret: $\begin{eqnarray*} E[X\cdot 1_A]=E[E[X|X+Y]\cdot 1_A]~\forall A\in \sigma(X+Y) \end{eqnarray*}$ und natürlich, dass $\begin{eqnarray*} E[X|X+Y] ~~\sigma(X+Y) \end{eqnarray*}$ -messbar sein muß. Aber weiter hilft mir das leider nicht.
Vielen Dank

18.12.2008, 17:01

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Zitat:

Original von Fletcher
weil $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ eine Dichte und kein Übergangskern ist. Ich hatte das nicht verwechselt, sondern einfach nicht gewusst. unglücklich

Es stand ganz oben in deinem ersten Beitrag:

Zitat:

Original von Fletcher
1) Seien X und Y reelle Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte f

Das ist klar und unmissverständlich, und im übrigen auch konform mit der dann folgenden Formel der bedingten Erwartung.

So, ich bin jetzt erst mal weg - vielleicht heute spät abend wieder...

18.12.2008, 17:09

Fletcher

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Naja das mit den Übergangskernen war einfach ein Bock meinerseits. Die brauche ich in dieser Aufgabe wohl nicht. Allerdings habe wir diese im Kapitel der Bedingten Verteilungen definiert und deshalb hat mich das wohl auf dem Holzweg geführt.
Also wollte keine Verwirrung stiften!

Werde dann heute Abend nochmal reingucken, danke nochmal.

18.12.2008, 20:24

Fletcher

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Ich habe jetzt noch folgende Information zu dieser Aufgabe 1):

Setzen wir $\begin{eqnarray*} h(x)=1_B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B\in \mathcal B(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ , so erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} P[X\in B|Y]=E[1_B|Y]=\int_B \frac{f(x,Y)}{\int_{\mathbb R}f(x,Y)\lambda(dx)}\lambda(dx) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} P[X\in \cdot|Y] \end{eqnarray*}$ heißt die bedingte Verteilung von X gegeben Y und die Dichte $\begin{eqnarray*} \frac{f(x,Y)}{\int_{\mathbb R}f(x,Y)\lambda(dx)} \end{eqnarray*}$ von
$\begin{eqnarray*} P[X\in \cdot|Y] \end{eqnarray*}$ wird deshalb auch bedingte Dichte von X gegeben Y genannt.

Momentan verstehe ich wenig. Vielleicht hilft es weiter.

19.12.2008, 08:25

Fletcher

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RE: Bedingte Verteilungen

Zitat:

Original von Fletcher

Desweiteren habe ich im Klenke folgendes gefunden: Sei $\begin{eqnarray*} X \in L^1(P) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A\in \mathcal A \end{eqnarray*}$ . Dann setze für $\begin{eqnarray*} P(A)>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E[X|A]=\int X(\omega)P[d\omega|A]=\frac{E[1_A X]}{P(A)} \end{eqnarray*}$

Falls man die 1) mit dieser Formel zeigen könnte, verstehe ich nicht warum

$\begin{eqnarray*} E[h(x) X]=\int h(x)f(x,Y)\lambda(dx) \end{eqnarray*}$ sein soll aus zwei Gründen:

1) Warum steht ein $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ in der Dichte $\begin{eqnarray*} f(x,Y) \end{eqnarray*}$ und nicht ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ ?

2) Warum kommt überhaupt ein $\begin{eqnarray*} f(x,Y) \end{eqnarray*}$ vor, obwohl ich mich nur für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ interessiere?

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