Fixpunktgleichung bei Nullstellensuche

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Alex04 Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunktgleichung bei Nullstellensuche
Hallo,
in einem Übungsblatt ist folgende Aufgabe zu Lösen:
Finden sie alle Lösungen der Gleichung:
x^3 + 3x = -2

Ich wäre so dran gegenan das meine Fixpunktgleichung so aussieht:

x^3 + 3x + 2 +x = 0

Und hätte jetzt mittels Iteration die Nst berechnet.

Problem ist allerdings, das die Fixpunktfunktion eine Steigung > 1 hat für das Intervall ]-iWurzel(2) , iWurzel(2) [

D.h. wenn ich eirgendeinen Startwert nehme zb x0 = 1, -1, -0.1 usw dann konvergiert das Verfvahren nicht.

Wir haben soetwas noch nicht mit komplexen NST gemacht, deswegen würde ich euch gern fragen wie man da rangehen soll und ob einer nen Tipp für mich hat...

Wäre echt top!

Lg
Alex
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lautet denn konkret deine Iteration? Das ist der Gleichung allein nicht entnehmbar, es gibt mehrere Möglichkeiten einer Fixpunkt-Iteration, z.B.

.
Alex04 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, das problem ist ich weiß nicht genau wie ich eine FPGleichung aufstelle,
Wir haben in der Uni das Beispiel gemacht
x² = 2
da g(x) (also die Fixpunktgleichung) = x haben wir folgendes gemacht:
x² - 2 = 0
-> x² + 2 + x = x = g(x)

Ich weiß das man hier ein anderes g(x) nehmen muss, denn sonst wandert man immer hin und her.

Bei meiner obigen Aufgabe wollte ich halt dasselbe machen und habe gesagt okay:

x^3 + 3x = -2
->
x^3 + 3x + 2 = 0
->
x^3 + 3x + 2 + x = x = g(x)

Ich weiß allerdings nicht ib das stimmt, desweiteren ist diese gleichung nach iteration g(x0) = x1 = ...
g(x1) ) x2 = ...

leider nicht konvergent egal welchen startwert ich nehme
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der Fixpunktgleichung eine Iteration zu machen nützt doch nur dann was, wenn die Abbildung "in der Nähe" der Fixpunktstelle kontraktiv ist (Banachscher FPS o.ä.), bei differenzierbaren Abbildungen also durch die Forderung in einer Umgebung des Fixpunktes charakterisierbar.

Wenn du also ein wählst, was dieses Eigenschaft nicht hast, dann wirst du mit der Iteration scheitern. Da führt kein Weg dran vorbei, als ein anderes, funktionierendes zu wählen.
Alex04 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das habe ich germerkt Big Laugh

Nur welche g's darf ich wählen, ich hab jetzt einfach mal folgendes gemacht:

g(x) = x

x^3 + 3x = -2

-> x = (-2 - x^3) / 3 = g(x)

Also nach x aufgelöst und dann einfach gesagt okay, das ist meine Fixpunktgleichung.

Damit konvergiert das verfahren gegen -0.59.... und siehe da, richtige Nullstelle.

Nur hab ich leider keine Ahnung warum und wieso. Weiterhin, warum haben wir in der uni auf beiden seiten +x gemacht?

Kann ich immer bei gleichungen 0 = f(x) + x einfach nach x auflösen und sagen okay, das ist unsere FPGleichung?
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