Inverse durch Newton bestimmen

19.12.2008, 15:21

tigerbine

Inverse durch Newton bestimmen

Hallöchen, bin bei der Recherche auf folgende Aufgabe gestoßen. Finde aber nicht so recht den Zugang.

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ . Geben sie einen lokal quadratisch konvergierenden Algorithmus zur Bestimmung von $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ an, der nur Multiplikation und Addition reeller Zahlen als Operationen besitzt.

Hinweis:
Betrachten Sie den Newton-Algorithmus für eine geeignete Funktion.

Die Newton-Iterationsvorschrft lautet:

$\begin{eqnarray*} x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)} \end{eqnarray*}$

Wobei f eben eine Funktion ist, die an der Stelle x=1/a eine Nullstelle hat. Nun sind - so wie die Formel zunächst da steht - ja schon 2 unerlaubte Operationen vorhanden.

Jemand eine Idee?

Wink

19.12.2008, 17:13

tigerbine

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RE: Inverse durch Newton bestimmen
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x}-a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{k+1} &&= x_k - \frac{\frac{1}{x_k}-a}{-\frac{1}{x_k^2}} = x_k+x_k+ax_k^2\\&&=2x_k+ax_k\cdot x_k \end{eqnarray*}$

Beispiel für a=3:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:

  x_n+1            x_n           Delta
============================================
  0.019700        0.010000       0.970000 
  0.038236        0.019700       0.940900 
  0.072086        0.038236       0.885293 
  0.128582        0.072086       0.783743 
  0.207564        0.128582       0.614254 
  0.285880        0.207564       0.377308 
  0.326578        0.285880       0.142361 
  0.333196        0.326578       0.020267 
  0.333333        0.333196       0.000411 
  0.333333        0.333333       0.000000 
  0.333333        0.333333       0.000000

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