Untervektorräume

20.12.2008, 12:02

crazyy

Untervektorräume

einen schönen guten morgen,

ich habe eine frage bzgl. dieser aufgabe:

also es sei V endlich-dimensionaler K-Vektorraum, und f: V->V ein Endormorphismus.

Wir erhalten dann zwei Teilmengen:

$\begin{eqnarray*} U'=\bigcup_{i=0}^\infty ~ ker(f^i) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U''=\bigcap_{i=0}^\infty ~ im(f^i) \end{eqnarray*}$

also ich soll jetzt zeigen das diese Teilmengen Untervektorräume sind.

ich schreibe nochmal die Bedingungen für Untervektorräume auf:

1. $\begin{eqnarray*} W\neq \end{eqnarray*}$ leere Menge
2. $\begin{eqnarray*} v,w \in W => v+w \in W \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} v \in W,\lambda \in K => \lambda v \in W \end{eqnarray*}$

ok ich habe mir überlegt, weiss aber nicht ob es richtig ist:

zu 1. kann ich hier sagen, dass 0 in allen ker ( $\begin{eqnarray*} f^i \end{eqnarray*}$ ) und im( $\begin{eqnarray*} f^i \end{eqnarray*}$ ) enthalten ist, ist dann auch $\begin{eqnarray*} 0\in U',U'' \end{eqnarray*}$ , also heisst es dann:

$\begin{eqnarray*} U',U''\neq \end{eqnarray*}$ leere Menge

ist es so richtig,
aber ich weiss nicht wie ich die anderen bedingungen zeigen soll, könnt ihr mir helfen

20.12.2008, 21:41

Raumpfleger

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RE: Untervektorräume
Die Aussagen sind naheliegend, weil ein Endomorphismus eine lineare Abbildung von V nach V ist. Insbesondere ist

$\begin{eqnarray*} f(0) = f(a-a) = f(a) + f(-a) = f(a) - f(a) = 0 \end{eqnarray*}$

Das Nullelement 0 von V ist in U' und in U'' enthalten.

Zitat:

Original von crazyy
$\begin{eqnarray*} U'=\bigcup_{i=0}^\infty ~ ker(f^i) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \in U' \rightarrow \alpha + \beta \in U' \end{eqnarray*}$

O.B.d.A $\begin{eqnarray*} f^i(\alpha) = 0, f^i(\beta) = 0, i \geq j \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f^i(\alpha + \beta) = f^i(\alpha) + f^{i-j}(f^j(\beta)) = 0 + f^{i-j}(0) = 0 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^i(k \alpha) = k f^i(\alpha) = k 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} U''=\bigcap_{i=0}^\infty ~ im(f^i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{i=0}^\infty ~ im(f^i) = f(f( ...f(f(V))...)) = f^{n_0}(V), n_0 \geq 1 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f^{n_0 + 1}(V) = f^{n_0}(V). \end{eqnarray*}$ . Seien $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \in U'' \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} \exists v_1, v_2 \in V \quad\mbox{mit}\quad \alpha = f^{n_0}(v_1), \beta = f^{n_0}(v_2) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \alpha + \beta = f^{n_0}(v_1) + f^{n_0}(v_2) = f^{n_0}(v_1 + v_2) \in U'', k \alpha = f^{n_0}(k v_1) \end{eqnarray*}$ .

20.12.2008, 21:47

crazyy

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danke dir für deine antwort,

also ist jetzt somit gezeigt, dass diese teilmengen ein Untervektorraum bilden

ich habe noch eine frage zu dieser aufgabe damit komme ich auch nicht ganz klar:

wie kann ich beweisen das

$\begin{eqnarray*} U'\cap U''=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U'+U''=V \end{eqnarray*}$ gilt

20.12.2008, 22:02

Raumpfleger

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Das U' ist die Vereinigung der f^i Kerne, das U'' ist alles, was von $\begin{eqnarray*} f^{n_0} \end{eqnarray*}$ (ausser 0) nicht auf 0 abgebildet wird. Du musst Dir also klarmachen, dass ein $\begin{eqnarray*} v \neq 0, v \in V \end{eqnarray*}$ entweder zu U' oder zu U'' gehört. Das sollte anhand der Definition von Kern und Bild und der Eigenschaften der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V \rightarrow V \end{eqnarray*}$ kein Problem sein.

20.12.2008, 22:17

crazyy

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hmm, also ich habe mir nochmal die formeln verdeutlciht:

für bild:

$\begin{eqnarray*} Img (f):=(v_2 \in V|f(v_1)= v_2 \end{eqnarray*}$

und für kern

Kern (f):=(v_1 \in V| f(v_1)=0)

ich weiss jedoch leider nicht wie ich das hier einsetzen soll

21.12.2008, 11:29

crazyy

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da war wohl ein fehler $\begin{eqnarray*} Kern (f):=(v_1 \in V| f(v_1)=0) \end{eqnarray*}$

kann mir nochmal jemand bitte helfen

21.12.2008, 14:12

Raumpfleger

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Also, es muss gezeigt werden, dass jeder Vektor $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ entweder in U' oder in U'' liegt. Dazu muss man sich überlegen

(1) f ist linear, $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ , insbesondere definitionsgemäss $\begin{eqnarray*} f(f(....f(f(\ker f^i))...)) = 0, i \geq 1 \end{eqnarray*}$ , wenn also ein Vektor irgendwanneinmal bei der wiederholten Anwendung von f in einem Kern gelandet ist (etwa wie $\begin{eqnarray*} \alpha \in \ker(f^i) \end{eqnarray*}$ ), dann kann er bei keiner folgenden Abbildung $\begin{eqnarray*} f^{i + l}(\alpha), l > 0 \end{eqnarray*}$ wieder im Bild auftauchen; wenn er also einmal in U' für irgendein i drin ist, dann bleibt er drin.

(2) Das Bild von f in V ist ein Untervektorraum von V oder V selber (im letzteren Fall ist f ein Isomorphismus). Alle Vektorräume gleicher Dimension über demselben Körper sind zueinander isomorph. Wenn f(V) ein echter Untervektorraum von V ist, dann muss $\begin{eqnarray*} \dim(f(V)) = \dim(im(V)) < \dim(V) \end{eqnarray*}$ sein. V war endlichdimensional vorrausgesetzt, die Dimensionszahl der Bilder von f^i kann mit wachsendem i nur endlich oft kleiner werden, bis sie entweder konstant bleibt oder 0 erreicht. Deshalb die Formel $\begin{eqnarray*} \bigcap_{i=0}^{\infty}im(f^i) = f(f(...f(f(V))...)) = f^{n_0}(V), 0 < n_0 \leq \dim(V) \end{eqnarray*}$ .

Nun betrachtet man die Kette $\begin{eqnarray*} f(v), f(f(v)), ..., f^{n_0}(v) \end{eqnarray*}$ , wenn darin irgendwo das Nullelement von V auftritt, dann ist v in U', sonst in U''.

22.12.2008, 00:20

crazyy

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du hattest ja in deiner vorherigen post gesagt, dass $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist,

also kann es doch dann hier nirgends auftauchen und liegt somit nicht U' sondern in U''

22.12.2008, 07:58

Raumpfleger

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Natürlich ist $\begin{eqnarray*} v \neq 0, v \in V \end{eqnarray*}$ (f(0) = 0 ist bereits bekannt, das muss man nicht mehr ansehen), aber in der Folge $\begin{eqnarray*} f(v), f(f(v)), ..., f^{n_0}(v) \end{eqnarray*}$ kann das Nullelement (als Ergebnis der Anwendung von f^i auf v, um es nocheinmal ganz deutlich zu sagen) auftreten und dann ist v in U'. Tritt in der obengenannten Folge das Nullelement (als Ergebnis der Anwendung von f^i auf v) nicht auf, dann ist v in U''. Weitere Möglichkeiten gibt es nicht und damit ist der Satz bewiesen.

22.12.2008, 10:51

crazyy

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asoo ok vielen dank für deine erklärung

und was ist mit U'+U''=V

22.12.2008, 14:51

Raumpfleger

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Zitat:

Original von crazyy
und was ist mit U'+U''=V

Du liest nicht, was geschrieben steht? Es wurde gerade gezeigt, dass ein beliebiges $\begin{eqnarray*} v \neq 0, v \in V \end{eqnarray*}$ entweder in U' oder in U'' liegt. Daraus folgt unmittelbar $\begin{eqnarray*} U' \bigcap U'' = 0 \quad\mbox{(Nullelement von V)}, U' + U'' = V \end{eqnarray*}$ .

22.12.2008, 16:18

crazyy

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asoo verstehe,

ich danke dir mehrmals für deine hilfe

Wink

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