Tschebyscheffsche Ungleichung

21.12.2008, 16:28	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Tschebyscheffsche Ungleichung Ich soll über die Gleichung $\begin{eqnarray} \sum_{j,k=1}^n~(a_j - a_k)(b_j - b_k) = 2[n \sum_{k=1}^n~a_kb_k - (\sum_{k=1}^n~a_k)( \sum_{k=1}^n~b_k)] \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} \frac{\sum_{k=1}^n~a_k }{n} \cdot \frac{\sum_{k=1}^n~b_k }{n} \leq \frac{\sum_{k=1}^n~a_kb_k }{n} \end{eqnarray}$ beweisen, die unter der Bedingung $\begin{eqnarray} a_1\geq ...\geq a_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_1\geq ...\geq b_n \end{eqnarray}$ . Nun komme ich durch Umformen und Einsetzen auf die äquivalente Ungleichung $\begin{eqnarray} \sum_{j,k=1}^n~(a_j - a_k)(b_j - b_k) \geq 0 \end{eqnarray}$ Wie zeige ich das diese Ungleichung stimmt ? lg
21.12.2008, 16:44	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
An sich sollte man sofort sehen, dass aufgrund von $\begin{eqnarray} a_1\geq ...\geq a_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_1\geq ...\geq b_n \end{eqnarray}$ sämtliche Summanden nichtnegativ sind: Für $\begin{eqnarray} j=k \end{eqnarray}$ sind sie offenbar Null, für $\begin{eqnarray} j<k \end{eqnarray}$ sind beide Faktoren des Summanden nichtnegativ, und für $\begin{eqnarray} j>k \end{eqnarray}$ beide nichtpositiv... Was das ganze aber mit Tschebyscheff zu tun haben soll, ist mir unklar - na egal.
21.12.2008, 17:17	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das ist offensichtlich Was das ganze mit Tschebyscheff zu tun hat weiß ich auch nicht nur das das die Gleichung so heißt ... lg

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