Zwei Integrationsmethoden - unterschiedliche Ergebnisse

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Barium Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Integrationsmethoden - unterschiedliche Ergebnisse
Wo ist der Fehler? verwirrt

Weg 1:



Weg 2:









Danke schonmal!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwei Integrationsmethoden - unterschiedliche Ergebnisse
Das Geheimnis liegt in der Integrationsvariablen. Augenzwinkern

Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Im Grunde geht es also um den Unterschied von



und



Betrachte mal



Du kannst es dir anschauen oder aber h'(x) bilden und erstaunt sein. Augenzwinkern

Edit:
Oder wie von klarsoweit. Ich wollte etwas indirekter angehen. Augenzwinkern
Achja ... das sollte da aber nicht hin *hust*

air
Barium Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, also



?

Jetzt habe ich zum ersten Mal ein Beispiel gesehen, bei dem die additive Konstante wichtig und nicht nur das obligatorische hintendran geschriebene C ist. smile
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Tja. Da sieht man mal, dass es eben auch mal was ausmachen kann - jedenfalls im Verständnis Augenzwinkern

air
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Barium


In diesem Beispiel ist zwar , aber das ändert an der Sache nicht so arg viel. Augenzwinkern
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Aber gerade klarsoweits Beitrag zeigt, daß das Hinschreiben einer Konstanten das logische Problem auch nicht behebt. Ob ich nun

oder oder

schreibe, bleibt sich letzten Endes gleich. Alle drei Schreibweisen sind in einem strengen Sinne logisch nicht haltbar. In den ersten beiden Fällen wählt man eine konkrete additive Konstante aus, im dritten Fall gibt man der gewählten Konstanten den Namen . Das ist aber hier nur ein Zeichen für eine Zahl, deren Wert einen im Moment nicht weiter interessiert.

Und so schmuggelt klarsoweit, um die Sache zu vertuschen, auch schnell Indizes bei den Konstanten hin (warum fragt denn eigentlich niemand, wo die herkommen?). Was besagt nun



Heißt das, die im zweiten Fall gewählte Konstante ergibt sich aus der im ersten Fall gewählten durch Addition von ? Wenn ich mir nun vorstelle, ich hätte gewählt und , so steht doch da:



Das überzeugt wohl nicht so ganz. Offenbar will uns die obige Gleichung etwas anderes sagen: Man muß die Konstanten und so wählen, daß die Gleichung gilt. Also war man am Anfang, als man die Konstanten hingeschrieben hat, doch nicht frei, sich darunter irgendeine beliebige Zahl vorzustellen. Ja was nun?

Eigentlich müßte man es so machen: Wenn und Stammfunktionen von über einem vorgegebenen Intervall sind, müßte man eine Schreibweise haben wie



Die unbestimmte Integration liefert also eine Funktionenmenge, nämlich die Menge aller Stammfunktionen. Und aus dieser Funktionenmenge wählt man Elemente aus. Und nun sagt die Theorie, daß es ein von unabhängiges gibt mit



Erst an dieser Stelle kommt also das ins Spiel.

Nun hat aber die Mathematikgeschichte anders entschieden. Statt eines Zeichens hat sie sich für ausgesprochen. Ob es uns nun gefällt oder nicht, wir haben es zu akzeptieren: Das Gleichheitszeichen hat hier nicht die übliche Bedeutung, sondern die Bedeutung, die ich oben mit anzudeuten versucht habe. Schweren Herzens schreibt man also



weiß aber, daß das Zeichen hier nicht transitiv verwendet werden darf, sondern nur



bedeutet. Das Anbringen von gleich bei der Integration bringt einen aus diesem Dilemma jedenfalls nicht heraus. Wenn man das schon macht, hätte man so schließen müssen:

Einerseits:



Andererseits:



Hierbei sind fest gewählte reelle Zahlen ohne konkrete Wertzuweisung. Die rechten Seiten stellen im Intervall der Zahlen Stammfunktionen derselben Funktion dar. Also gibt es eine Konstante mit



Eine Rechnung zeigt, daß



gelten muß.

Da man also die Sache sowieso nicht retten kann, stehe ich auf dem Standpunkt, das endlich zuzugeben und nicht durch Anbringen von Korrektheit vorzutäuschen.
Barium Auf diesen Beitrag antworten »

Was mir noch Probleme bereitet:

Wenn man zeigen will, dass die zwei Ergebnisse dasselbe bedeuten, dann setzt man sie gleich. Nach Gleichsetzung und Umformung kommt man auf die Gleichung:



oder:



Hier habe ich ein Problem damit, dass die Konstanten voneinenader abhängen; wenn man fest wählt, dann wird automatisch ein Wert zugewiesen (es ist ja eine lineare Funktion).

Dabei müssten die Konstanten doch unabhängig voneinander sein! verwirrt

@ Leopold: Wenn man die Sache deiner Meinung nach "sowieso nicht retten kann", wie schreibt man dann mathematisch korrekt, dass beide Stammfunktionsmengen identisch sind? Das müssen sie doch sein, damit man sagen kann, dass beide Integrationsmethoden zulässig sind, oder sehe ich das auch falsch?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Barium
Wenn man zeigen will, dass die zwei Ergebnisse dasselbe bedeuten, dann setzt man sie gleich. Nach Gleichsetzung und Umformung kommt man auf die Gleichung:



Das Problem ist, daß man im Grunde als Ergebnis 2 Mengen hat, deren Gleichheit zu zeigen ist. Die Elemente jeder Menge unterscheiden sich nur durch eine Konstante. Es reicht also, wenn man die Differenz einer Funktion aus der ersten Menge und einer Funktion aus der zweiten Menge nimmt und zeigt, daß diese konstant ist. Dies führt eben zu der von Leopold kritisierten Gleichung

@Leopold: wenn die Mathematiker sich einig wären, daß eine Stammfunktion ein Vertreter einer ganzen Menge von Stammfunktionen ist, könnte man sich das lästige Geschreibsel mit der Integrationskonstanten sparen. Ich wäre jedenfalls dafür.
Barium Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss meinen Beitrag richtigstellen, auch wenn das Folgende bereits klar ist. Wie löst man das Problem?

Wenn man ein Integral auf zwei Wege löst, zwei unterschiedlich aussehende Ergebnisse erhält und zeigen will, dass diese aber gleich sind, so muss die Gleichung

bzw.

das Resultat sein.

Hier unterscheidet sich das eine C aber von dem anderen durch : es ensteht also:



Die Graphen der zwei Funktionen und sind also nicht deckungsgleich - damit sind die zwei Ergebnisse, die durch die zwei unterschiedlichen Integrationsmethoden herausgekommen sind, unterschiedlich. Wir erhalten also, vorerst unerklärlich, zwei unterschiedliche unbestimmte Integrale, also zwei unterschiedliche Stammfunktionsmengen.

Alles soweit richtig?

Dann fände ichs gut, wenn mir jemand erklären würde, wieso man zwei unterschiedliche unbestimmte Integrale erhält! Wenn man Flächenberechnungen machen würde, würden ja je nach Stammfunktionsmenge unterschiedliche Werte herauskommen, das darf ja nicht sein...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das hast du falsch verstanden. Die "unterschiedlich" aussehenden Ergebnisse beschreiben ein- und dieselbe Stammfunktionsmenge. Jede Funktion aus der ersten Stammfunktionsmenge ist auch in der zweiten Menge enthalten und umgekehrt. Zwei beliebige Funktionen aus der ersten oder zweiten Stammfunktionsmenge unterscheiden sich lediglich durch eine Konstante. Diese muß nicht Null sein.
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