Operatornorm (4)

22.12.2008, 14:31

tigerbine

Operatornorm (4)

Was ist eigentlich der Unterschied zwischen einer Operatornorm und einer Matrixnorm? Bitte nun nicht den Link nach Wikipedia. Habe hier zwei Skripte, die in Formeln das gleiche sagen, aber einmal heißt es Operator und einmal Vektornorm.

Gibt es lineare Operatoren, die sich nicht durch Matrizen darstellen lassen oder sollen die Namen nur unterscheiden, ob meine eine lin. abbildung oder ihre darstellende Matrix betrachtet?

Danke Wink

22.12.2008, 15:42

Raumpfleger

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RE: Operatornorm (4)
Es gibt lineare Operatoren, die zwischen unendlichdimensionalen Räumen (z.B. Hilberträume, separable: abzählbar unendliche viele Dim., nichtseparable: überabzählbar unendlich viele Dim.) abbilden.

Im separablen Falle wäre eine Darstellungsmatrix auch von unendlicher Spalten- und Zeilenzahl, im nichtseparablen Fall schon nicht mehr möglich. Deshalb bildet man in der Funktionanalysis angepasste Normbegriffe, die aber im endlichdimensionalen Fall auf die dort üblichen Normen zurückgehen.

23.12.2008, 00:40

tigerbine

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RE: Operatornorm (4)
Danke für die Antwort. ich frage dann gleich mal weiter.

Definition einer Operatornorm wie im wiki. Nun wurde dort in der nächsten Zeile der Index bei der Submultiplikativität weggelassen. Gilt diese immer, oder nur wenn V und W gleich sind?

Ferner ist die Frage, wie sich nun eine Matrixnorm definiert. Analog zur Operatornorm? Mit unterschiedlichem V und W, dann ist die aber i.A. nicht submultiplikativ, Operatornorm (2) wäre da ein Gegenbeispiel. Den Normaxiomen genügen sie aber bei unterschiedlichem V und W.

Was ist eine induzierte Matrixnorm im Gegensatz zu einer Matrixnorm? Gilt dann V=W?

Sind hier in der Literatur die Definitionen vielleicht nicht eindeutig?

In einem Buch steht, dass für eine Operatornorm gilt, dass ||I|| =1 ist. Das ist doch aber nur der Fall, wenn V=W ist. Somit wäre die Frobeniusnorm keine Operatornorm. Mit der gleichen Begründung schreibt ein anderer Autor, dass die Frobeniusnorm keine Induzierte Matrixnorm sei.

23.12.2008, 10:08

Mazze

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Zitat:

Definition einer Operatornorm wie im wiki. Nun wurde dort in der nächsten Zeile der Index bei der Submultiplikativität weggelassen. Gilt diese immer, oder nur wenn V und W gleich sind?

Für beschränkte Operatoren S und T gilt in der Tat $\begin{eqnarray*} \|ST\| \leq \|S\|\cdot\|T\| \end{eqnarray*}$ . S und T können dabei durchaus auch auf verschiedenen VR abbilden. Also etwa ist für

$\begin{eqnarray*} T : X \to Y, S : Y \to Z \end{eqnarray*}$ mit T,S beschränkt ebenfalls die Submultiplikativität gültig. Wie gesagt, dass Ganze ist gültig für die Operatornormen. Die Norm auf der Du in Operatornorm(2) verweisst, ist ja keine Operatornorm mehr.

Zitat:

In einem Buch steht, dass für eine Operatornorm gilt, dass ||I|| =1 ist. Das ist doch aber nur der Fall, wenn V=W ist.

Du hast schon recht, ohne weitere Einschränkungen ist nicht jede Operatornorm der Identität gleich 1. Wähle zum Beispiel die Räume

$\begin{eqnarray*} A = (C^1([0,1]),\|\cdot\|_\infty) , B = ( C^1([0,1]),\|\cdot\|_2) \end{eqnarray*}$

mit den Normen

$\begin{eqnarray*} \|f\|_\infty = \sup_{t \in [0,1]}|f(t)|, \|f\|_2 = \|f\|_\infty + \|f'\|_\infty \end{eqnarray*}$ .

Dann ist die Identität $\begin{eqnarray*} I : A \to B \end{eqnarray*}$ sogar unbeschränkt (und damit unstetig). Also wäre hier $\begin{eqnarray*} \|I\| = \infty \end{eqnarray*}$

Zitat:

Was ist eine induzierte Matrixnorm im Gegensatz zu einer Matrixnorm? Gilt dann V=W?

Wir haben uns damit leider nicht soviel beschäftigt. Daher könnte ich Dich nur auf den Wikiartikel verweisen, den Du sowieso schon kennst. Aber man kann

$\begin{eqnarray*} \sup_{x \neq 0}\frac{\|Ax\|_n}{\|x\|_n} \end{eqnarray*}$

durchaus auch für nicht quadratische Matrizen definieren.

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