Diagonalisierbarkeit

23.12.2008, 14:57

Angel87

Diagonalisierbarkeit

Hey,
habe ein Problem mit Linerafaktorzerlegung.

die Matrix lautet:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 & 0 & 12&12 \\-4 & 2 & -8 & -8\\2 & 0 & 6 &4\\-6 & 0 & -12 &-10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich ja erstmal das chpol(A) bestimmen.

habe dann zuerst entwickelt und dann sarrus angewendet. nur jetzt komme ich nicht weiter um die Eigenwerte zu bestimmen.

Habe soweit aufgelöst:
$\begin{eqnarray*} (x-2)*[((x-8)*(x-6)*(x+10))-576-(-72*(x-6))-(-48*(x-8))-((x+10)*24)] \end{eqnarray*}$

wenn ich alles auflöse:
$\begin{eqnarray*} (x-2)*(x^3-4x^2+4x-1152) \end{eqnarray*}$

also ein Eigenwert ist 2. Nur wie komme ich an die anderen. mit Polynomdivision kam ich nicht an die zu ratende Nullstelle...

LG

23.12.2008, 15:03

tigerbine

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RE: Diagonalisierbarkeit
Das kann nicht sein. Denn es ist

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6:	eig([8,0,12,12;-4,2,-8,-8;2,0,6,4;-6,0,-12,-10]) ans = 2.0000 -0.0000 2.0000 2.0000

23.12.2008, 15:17

Bjoern1982

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@ Angel

Du hast dich beim Verrechnen der Konstanten vertan, denn diese müssten sich aufheben.

23.12.2008, 17:53

Angel87

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hm muss ich nochmal gucken. danke

23.12.2008, 18:26

Angel87

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ich weiss nicht was ich falsch mache:
also schrittweise:

so sieht die Matrix nach det(xE-A) aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x-8 & 0 & 12&12 \\-4 & x-2 & -8 & -8\\2 & 0 & x-6 &4\\-6 & 0 & -12 &x+10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt nach der 2. Spalte entwickeln:

$\begin{eqnarray*} det(x-2)\begin{pmatrix} x-8 & 12&12 \\2 & x-6 &4\\-6 & -12 &x+10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt sarrus:
$\begin{eqnarray*} (x-2)*[((x-8)*(x-6)*(x+10))+(-288)+(-288)-(-72*(x-6))-(-48*(x-8))-(24*(x+10))] \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt alles verrechne komme ich wieder auf das selbe Ergebnis. verwirrt

Ich hoffe ihr habt noch was Geduld mit mir...

23.12.2008, 18:41

Bjoern1982

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Zitat:

so sieht die Matrix nach det(xE-A) aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x-8 & 0 & 12&12 \\-4 & x-2 & -8 & -8\\2 & 0 & x-6 &4\\-6 & 0 & -12 &x+10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch, die Vorzeichen ändern sich nicht nur in der Diagonalen.

23.12.2008, 18:54

Angel87

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oh man. danke ich versuchs gleich nochmal...

24.12.2008, 13:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Das ist falsch, die Vorzeichen ändern sich nicht nur in der Diagonalen.

Deshalb sollte man ja auch nur das x auf der Hauptdiagonale subtrahieren. Augenzwinkern

25.12.2008, 10:16

tigerbine

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Die meisten Definitionen lauten anders. Und es bleibt dann noch zu zeigen, dass sich an den Eigenwerten nichts ändert. Augenzwinkern

26.12.2008, 14:18

Angel87

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Ich hab nochmal eine Verständnisfrage. Was ist, wenn ich $\begin{eqnarray*} Kern(\lambda *E-A) \end{eqnarray*}$ bestimme und es kommt wieder die Einheitsmatrix raus, also ich muss keine -1en hinzufügen. Was ist dann der Kern bzw. der Eigenraum. Gibt es dann keinen?
LG

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