Bundeswettbewerb Mathematik 2009

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Gast Damokles Auf diesen Beitrag antworten »
Bundeswettbewerb Mathematik 2009
Es geht um den Bundeswettbewerb Mathematik 2009.
Ich weiß nicht in wie weit die Aufgaben bekannt sind, doch ich muss bis zum Schulbeginn eine davon lösen. Daher wende ich mich an Sie alle, evtl. kann ich ja hier Unterstützung finden.
es gibt 4 Aufgaben und ich dneke die erste wird wohl die leichteste sein, doch ich werde sie kurz einmal alle abtippen:

1.:
"bei der 202-stelligen Quadratzahl 9...99z0...009
[ 100 "9en" -- z -- 100 "0en" -- 9 ]
ist die ziffer z nicht zu lesen.
ermittle eine mögliche Ziffer, die dort stehen kann!"

2.:
"zu 2 positiven reellen zahlen a und b sein m(a,b) die kleinste zahl der drei zahlen a, 1/b, (1/a) +b.
Für welche Zahlenpaare (a,b) ist m(a,b) maximal?

3.:
Ein punkt P im Innern des Dreiecks ABC wird an den mittelpunkten der Seiten Bc, CA,und aAB gespiegelt; die Bildpunkte werden mit Pa, Pb und Pc bezeichnet.
Beweise, dass sich die geraden APa, BPb und CPc an einem gemeinsamen Punkt schneiden.

4.:
Eine positive ganze Zahl heiße dezimal-Palindrom, wenn ihre Dezimaldarstellung zn...z0 mit zn ungleich 0 spiegelsymetrisch ist, d.h.:, wenn zk=zn-k für alle k= 0, ..., n gilt.
Zeige, dass jede nicht durch 10 teilbare ganze Zahl ein positives Vielfaches besitzt, das ein Dezimal-Palindrom ist!

( Entschuldigt meine Rechtschreib- bzw. Tippfehler sowie meine mangelnde Hilfe; ich gestehe, die Aufgabenstellungen selbst noch nicht einmal zu verstehen bei Aufgabe 2-4 . Des Weitern habe ich keine Tiefstell-Taste oder den Bruchstrich; bei Nachfragen stehe ich gerne zur Verfügung. )

Danke im Voraus für ihre Hilfe
Damokles.
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Da dir ja offensich das Aufgabenblatt vorliegt, bitte ich dich nunmal die Rückseite zu betrachten. Lies dir das was da steht ruhig mal ganz durch und dann sagst du uns bitte, was du falsch gemacht hast.
Gast Damokles Auf diesen Beitrag antworten »
leider nur unwichtiges
Dort steht nur, wie man in Runde 2 vorrücken kann, welchen Abstand die abzugebenen Blätter haben sollen etc. .
Also nichts, was hilft. Sonst befidet sich dort noch einTeilnahemcoupon auf dem Blatt, das war alles.
Außerdem will ich ja nicht teilnehmen, sondern einzig meine gute Note sichern, da diese mir versprochen wurde, falls ich eine dieser Aufgaben [gelöst] bei Schulbeginn vorstellen kann.
Gast Damokles Auf diesen Beitrag antworten »
Ansätze
Mir fehlen einfach alle Ansätze. Dies sind Aufgaben aus Themenbereichen, die wir nicht besprochen haben und von denen ich auch keine Ahnung habe.
Auch ist mir egal welche Aufg. ich vorstelle, doch ich schätze Nr.1 ist am Einfachsten.

(PS: sry als Nicht-Mitglied kann ich nicht editieren)
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Das wichtige auf der Rückseite ist die Selbstständigkeitserklärung. Das bedeutet, dass man alle Aufgaben selbstständig bearbeitet und gelöst hat. Da wir nicht wissen, was du mit den Lösungen, die wir dir geben würden, machst, werden wir hier in diesem Forum erst nach Einsendeschluss (1.3.2009) über die Aufgaben diskutieren.

Ich glaube allerdings, dass es erlaubt ist dir zu sagen, dass man bei Aufgabe 2 mit den "Werkzeugen" aus dem Unterricht am ehesten an die Lösung kommt. Dafür musst du dich aber dann auch auf deinen Hosenboden setzen und intensiv an den Aufgaben arbeiten, so wie es von den Aufgabenstellern gedacht ist...
Gast Damokles Auf diesen Beitrag antworten »
-.-'
kann ich ja auch verstehen, doch ich brauch ja nur eine aufgabe und egal welche, teilnehmen will ich ja nicht! und ich brauch die lösungen bis 5. glaub ich
-.-' *verzweifel*
ein anderes problem ist, dass wir aufgrund mangelnder zeit viele bereiche nicht behandeltr haben, auch nicht wo was maximal ist.... soll noch kommen...
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Note gilt es denn zu sichern?

Selbst wenn du auf zwischen 14 und 15 Punkten stehst und das entscheiden soll, ob du 14 oder 15 kriegst, finde ich es doch etwas komisch, dass man dafür den Bundeswettbewerb benutzt, da das vom Anspruch doch weit über jede Kursarbeitsaufgabe hinaussticht.

Ich kann mich aber nur Zizou anschließen: Die 2 ist meiner Meinung nach am einfachsten zu lösen. Fast schon intuitiv Augenzwinkern
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Sinn und Zweck, dir so eine Aufgabe zu geben, um eine Note zu sichern, ist doch aber auch, dass du diese Aufgabe dann auch löst.

Bis zu einem gewissen Rahmen helfen wir immer gerne mit Ansätzen, aber bei Wettbewerbsaufgaben muss man viel vorsichtiger sein.
Und wie gesagt - das ist für dich keine Hausaufgabe, sondern du sollst damit zeigen, dass du gut genug bist, die gute Note zu erhalten. Das verlangt nochmal wesentlich mehr, dass du diese Aufgabe auch selbstständig löst.

Wenn du es nicht hinbekommst - und nimm mir das bitte nicht Böse -, dann hast du die 'bessere' Note im Rahmen des Angebots der Lehrkraft einfach nicht verdient.

air
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Somit wurde alles gesagt.
Aufgaben aus laufenden Wettbewerben werden hier nicht behandelt.

Anders ist es, wenn du Aufgaben ansprechen willst, bei denen der Abgabeschluss bereits in der Vergangenheit liegt.
In diesem Falle eröffne bitte ein neues Thema - und ausserdem: NUR EINE Aufgabe!!

*** geschlossen ***

mY+
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Wieder geöffnet.
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Da Damokles Anfrage ja abgelaufen ist, könnten wir in diesem Thread ja auch allgemein über den BWM 2009 reden.

Also, wer hat denn vom Board hier alles so mitgemacht? Habt ihr alle Aufgaben gelöst und wie schätzt ihr eure Lösugen ein?

Ich für meinen Teil habe dieses Jahr nach einjähriger Pause wieder teilgenommen und habe zusammen mit einem Freund alle Aufgaben bearbeitet. Wir glauben alle Lösungen gefunden zu haben. Bei den Aufgaben 1 und 2 halten wir unsere Beweise für vielversprechend, für die Aufgaben 3 und 4 sind wir uns da nicht ganz so sicher.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na für mich als Nichtteilnehmer (aus Altersgründen) kommt auch die elekronische Form in Frage, und auch nur für die Aufgabe 4, weil das die bei weitem interessanteste dieser Runde war:

[attach]9927[/attach]
Ich erwarte von euch Verbesserungen in Form einer eleganteren, schnelleren Lösung, auf die ich leider nicht gekommen bin. smile


EDIT: Ähem, eigentlich wollte ich diesen Beitrag ja hier anhängen - falls sich jemand über die Bezugnahme im ersten Satz wundern sollte. Big Laugh
JdPL Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe auch den kleinen Satz des Fermat benutzt, aber bei mir baut das Palindrom nicht auf Neunen, sondern vor allem auf Einsen auf:

[attach]9931[/attach]

Ich würde mich vor allem freuen zu erfahren, wo Formfehler und sonstige Ungenauigkeiten sind...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Hab nicht so sehr auf Formfehler geachtet, aber die Idee ist in Ordnung und ich habe kein Detail gesehen, was die Sache irgendwie zu Fall bingen könnte.

Schöne Lösung, trotz vieler gemeinsamer Grundprinzipien doch ziemlich anders in der Konstruktion. Freude

Von der Komplexität her in etwa vergleichbar zu meiner Lösung, ich hoffe also immer noch auf was einfacheres. Augenzwinkern


EDIT: Mit deinem hoffentlichen Einverständnis habe ich mal das jeweils beste unserer beiden Lösungen extrahiert und zu einer neuen, kompakteren Lösung kombiniert:

[attach]9932[/attach]

Kommt meiner Vorstellung eines "angemessenen" Lösungsaufwands schon erheblich näher. Augenzwinkern
Till S))) Auf diesen Beitrag antworten »

Leider verstehe ich deine Lösung im PDF nicht. Bin erst in der elften Klasse.

Ich bin an die Aufgabe so gegangen, dass erst eine Primfaktorzerlegung mit der beliebigen Zahl (ich nenne sie x), die ein Palindrom als Vielfaches haben soll, durchgeführt wird.

x=p1^n1*p2^n2*p3^n3...

p1, p2 ... sind die Primfaktoren und n1, n2 ... ihre Häufigkeit.

Es fällt mir gerade sehr schwer, mich richtig auszudrücken, entschuldigt.

Ich mache einfach mal ein Beispiel, welches sich auf alle Primfaktoren außer 2, 3, 5 und 11 übertragen lässt:

x=91=7*13=p1*p2

Wir haben nun 7 und 13 als Primfaktoren, also wird das Vielfache von 91, welches ein Palindrom sein muss, so aussehen:

1...(7-1)*(13-1)...1=x*k |k ist eine unbekannte ganze Zahl
Das Palindrom besteht nun aus 72 aneinandergehängten Einsen, denn 72=(p1-1)*(p2-1).

Ich habe folgende Regel entdeckt:

(p1-1)*p1^(n1-1)*(p2-1)*p2^(n2-1) ... Einsen wird das Palindrom haben und lässt sich dann durch x teilen. Allerdings nur für Primfaktoren außer 2, 3, 5 und 11.

Zweites Beispiel:

x=34307=7*13*13*29=p1^n1*p2^n2*p3^n3 ...
p1=7; n1=1
p2=13; n2=2
p3=29; n3=1

Also muss das Palindrom zu 34307 so viele Einsen haben:
(7-1)*7^(1-1)*(13-1)*13^(2-1)*(29-1)*29^(1-1)
(6)*7^(0)*(12)*13^(1)*(28)*29^(0)
6*12*13*28
26208

Wenn der Primfaktor 3 in x enthalten ist wird die Anzahl der Einsen verdreifacht. Bei zwei Dreien als Primfaktoren wird verneunfacht, bei drei Dreien mit 27 multipliziert. Und so weiter.

Weiteres Beispiel:
x=63=3*3*7

Die Kette der Einsen muss nun so lang sein:
6*3*3=54

Also wenn p (Primfaktor) gleich 3 ist wird von p nicht eins subtrahiert, wie es bei den anderen Primfaktoren (ausgenommen 2, 5 und 11) der Fall ist.

Und dass eine Kette, nur aus Einsen bestehend, ein Palindrum ist, sollte klar sein.

Ich weiß auch nicht weiter und beweisen kann ich es auch nicht. Aber das war mal mein Ansatz. Zum Glück habe ich die anderen drei Aufgaben gelöst.

Ich hoffe mal, das war jetzt nicht ganz so blödsinnig, wie es mir vorkommt.

Till S)))
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Till S)))
Leider verstehe ich deine Lösung im PDF nicht. Bin erst in der elften Klasse.

Die Lösung ist gerade für elfte, oder sogar noch tiefere Klassen geschrieben. Selbst den Satz von Euler-Fermat (s.u.) habe ich bewusst nicht verwendet.

Zitat:
Original von Till S)))
(p1-1)*p1^(n1-1)*(p2-1)*p2^(n2-1) ... Einsen wird das Palindrom haben und lässt sich dann durch x teilen. Allerdings nur für Primfaktoren außer 2, 3, 5 und 11.

Die 11 musst du nicht rausnehmen. Und die Herausnahme der 3 ist nur nötig, weil du ein Einserpalindrom anstrebst. Mit einem Neunerpalindrom gleicher Stellenzahl bleiben nur noch die Ausnahmen 2 und 5.

Begründen lässt sich das ganze dann schlicht und einfach mit dem Satz von Euler-Fermat:

für teilerfremde ,

hier angewandt auf und , die weder durch 2 noch durch 5 teilbar sind.
Till S))) Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn die Drei öfters als Primfaktor vorkommt?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, was ist dann?

EDIT: Offenbar ist dann Schweigen im Walde. Augenzwinkern
Ok dann auch so die Antwort:

Auch für Dreierpotenzen bzw. Zahlen , die Dreierpotenzen in ihrer Primfaktorzerlegung haben, gilt



gemäß Satz von Euler-Fermat, es darf eben nur keine 2 und keine 5 in als Faktor enthalten sein. 3 ist erlaubt, in beliebiger Exponentenzahl!
Till S))) Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei und Fünf könnten doch beliebig oft enthalten sein, nur eben nicht beide auf einmal. Ich schau mir das nochmal an... Bin etwas verwirrt, glaube ich.

Könntest du vielleicht mal eine Beispielrechnung machen? Mit den Zahlen 1024, 28 und 27 am besten.

Vielen Dank.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Till S)))
Zwei und Fünf könnten doch beliebig oft enthalten sein, nur eben nicht beide auf einmal.

In der Aufgabenstellung! Aber nicht bei der hier diskutierten Anwendung von Euler-Fermat - das ist es ja gerade, was die Aufgabe dann doch so interessant macht. Es scheint, als hast du weder die Lösung von JdPL noch die von mir angeschaut, wenn du so argumentierst.

Zudem ist in meinem ersten PDF oben (AD_bwm0914.pdf) eine Beispielrechnung für enthalten.
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte auch noch die Lösung von mir und einem Freund von mir, mit dem zusammen ich im Rahmen der Gruppenarbeit teilgenommen habe, anfügen.
Ich glaube sie sollte auch einfach zu verstehen sein, bin mir aber nicht ganz sicher, ob der Beweis hundertprozentig wasserdicht ist.

Auch ich freue mich über Verbesserungsvorschläge und Hinweise auf Fehler oder Lücken.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Weil die Abfolge ihrer Nachkommastellen grundsätzlich anders ist können sie die Gleichung, wobei einer der Reste von und keiner davon ist,



nicht erfüllen

Diese Logik erschließt sich mir nicht, zumal das einfache Beispiel dagegen spricht. verwirrt
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

p soll eine Primzahl größer fünf sein. Dann sollte es klappen, oder?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja, steht weiter vorn. Hab ich wohl übersehen, weil ich nirgendwo die dann nötige Extrabehandlung der Drei gesehen habe. Augenzwinkern
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

2,3 und 5 werden später getrennt behandelt. Da diese drei keine der Zahlen 10^m+1 teilen können. (Latex mal bewusst weggelassen)

Allerdings frage ich mich nun auch mal selbstkritisch nach der Logik des Arguments. Hoffe, dass es einer eingehenden Prüfung standhält, allerdings muss ich eingestehen es selbst nicht vollständig erklären zu können. unglücklich
Es war wohl vielmehr eine Beobachtung.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, für Primzahlen, und auch Primzahlpotenzen von scheint alles irgendwie so zu gehen, wie du dir das vorstellst.

Ein Riesenproblem sind allerdings die Primzahlpotenzen höherer Ordnung von . Du gibst zwar
die Palindromzahlen

für
für
für

an, aber wenn du die für höhere Potenzen multiplizierst - auch mit unterschiedlichen dann werden es bald keine Palindromzahlen mehr sein. Beispiel für :



ist sicher keine Palindromzahl, bei beliebiger Wahl von . Was dann?
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt. Das habe ich nicht beachtet. Schade, damit ist es hinfällig.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne den BWM zwar nicht, aber mit gelösten 1,2,3 und einer doch ordentlichen Anstrengung bei 4 wird man doch in die zweite Runde kommen? verwirrt
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man mindestens drei der vier Aufgaben richtig gelöst hat, kommt man in die zweite Runde.
Dann hoffe ich mal, dass sich in den anderen Lösungen nicht noch mehr Fehler verstecken.
ich_hoid Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Hab nicht so sehr auf Formfehler geachtet, aber die Idee ist in Ordnung und ich habe kein Detail gesehen, was die Sache irgendwie zu Fall bingen könnte.

Schöne Lösung, trotz vieler gemeinsamer Grundprinzipien doch ziemlich anders in der Konstruktion. Freude

Von der Komplexität her in etwa vergleichbar zu meiner Lösung, ich hoffe also immer noch auf was einfacheres. Augenzwinkern


EDIT: Mit deinem hoffentlichen Einverständnis habe ich mal das jeweils beste unserer beiden Lösungen extrahiert und zu einer neuen, kompakteren Lösung kombiniert:

[attach]9932[/attach]

Kommt meiner Vorstellung eines "angemessenen" Lösungsaufwands schon erheblich näher. Augenzwinkern


was bedeutet das s!(10^t-1)?
ich_schon_wieda Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ich_hoid
Zitat:
Original von Arthur Dent
Hab nicht so sehr auf Formfehler geachtet, aber die Idee ist in Ordnung und ich habe kein Detail gesehen, was die Sache irgendwie zu Fall bingen könnte.

Schöne Lösung, trotz vieler gemeinsamer Grundprinzipien doch ziemlich anders in der Konstruktion. Freude

Von der Komplexität her in etwa vergleichbar zu meiner Lösung, ich hoffe also immer noch auf was einfacheres. Augenzwinkern


EDIT: Mit deinem hoffentlichen Einverständnis habe ich mal das jeweils beste unserer beiden Lösungen extrahiert und zu einer neuen, kompakteren Lösung kombiniert:

[attach]9932[/attach]

Kommt meiner Vorstellung eines "angemessenen" Lösungsaufwands schon erheblich näher. Augenzwinkern


was bedeutet das s!(10^t-1)?


sry wegen oben
mir is aufgefallen dass das heißt:für s gilt (10^t-1)
aber den zusammenhang???????
JdPL Auf diesen Beitrag antworten »

Das s|(10^t-1) bedeutet, dass (10^t-1) durch s teilbar ist.
wer? Auf diesen Beitrag antworten »

der beweis mit mod s...
also dass (10^t-1) durch s teilbar ist versteh ich nicht
das mod s hatten wir in der schule noch nicht.
könnten das bitte jemand erklären?
danke mfg
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wer?
das mod s hatten wir in der schule noch nicht.
könnten das bitte jemand erklären?

Dafür ist hier nicht der Platz, da gibt es bessere, z.B. der hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Zahlentheorie)

Im Gegensatz zu manch anderen Wikipedia-Mathematik-Artikel ist der sogar recht "schülernah" geschrieben, sollte also mit etwas eigenem Bemühen ziemlich verständlich in die Thematik einführen. Augenzwinkern
mathemagie Auf diesen Beitrag antworten »

hallo kann das hier jemand mal auf elftklass niveau erklären?
?
danke
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