Norm - Betrag ? |
| 27.12.2008, 18:47 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Norm - Betrag ?
In einem anderem Thread (in dem ich allerdings keine Antwort bekommen habe 
) ist mir die Frage gekommen, was der Unterschied, zwischen einer Norm und einem Betrag ist. Kann mir da jemand weiterhelfen ? lg 
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| 27.12.2008, 20:06 | 42 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, Formale Definition einer Norm Mit 'Betrag' meinst du vermutlich den Betrag für reelle/komplexe Zahlen. Dieser Betrag stellt auch eine Norm dar, nur ist eine Norm extrem viel allgemeiner und lässt sich z.B. auch für Funktionen (z.B. für stetige Funktionen im Intervall [0,1]) definieren. |
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| 27.12.2008, 20:46 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja das weiß, mit Betrag habe ich eigentlich jenen allgemeinen Betrag gemeint durch den ein Körper bewertet wird. Gibt es da einen Unterschied, also kann eine Norm auch in(auf?) Mengen eingeführt werden die keine Körper sind ? lg |
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| 27.12.2008, 23:52 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Norm kann auf einem Vektorraum eingeführt werden. Ein Betrag ist multiplikativ, d.h. es gilt , deswegen braucht man dazu einen Körper. |
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| 28.12.2008, 00:28 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ist der Begriff Norm allgemeiner als der des Betrags ? Noch eine andere Frage stellt sich mir jetzt wo du es erwähnst, kann man einen Betrag nicht auch auf einer Algebra einführen, da ist die Multiplikation zwischen Elementen der Algebra auch gegeben ... lg |
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| 28.12.2008, 13:53 | 42 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, also Normen kann man sogar auf R-Module (sind nochmal allgemeiner als Vektorräume, da die keine Körper voraussetzen) anwenden. Und ja, Normen sind allgemeiner als Beträge. Ein Betrag bildet eine Norm, mit einer Norm kann man aber keine Betragsfunktion erzeugen. Der Betrag muss ja unter Anderem folgende Eigenschaften besitzen: |xy| = |x||y| Daraus folgen schon viele Eigenschaften für die Elemente x und y, z.B., dass es keine Nullteiler geben kann (denn |x| und |y| sind aus den reellen Zahlen!). Ob man aus den Betragseigenschaften schon folgern kann, dass ein Körper vorliegen muss, weiß ich nicht (ich schätze schon). Aber du kannst es ja mal versuchen es zu beweisen. (Also angenommen x und y stammen aus einem Ring mit einem Betrag | |, erfüllen diese dann auch die Körperaxiome?) Ansonsten gibt es noch den Pseudobetrag, den man auch auf Ringe definieren/anwenden kann. |
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| 28.12.2008, 18:24 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also zuerst mal danke für die Ausführungen 
Allerdings hätte ich da noch ein paar Fragen : Warum müssen x,y reele Zahlen sein ? Die andere hab ich schon das letzte Mal gestellt, und zwar ob man einen Betrag auch nicht auf einer Algebra einführen kann da eigentlich alle 3 Betragsaxiome erfüllt sein sollten (sofern man den Betrag entsprechend definiert) ... ? --> Da eine Algebra nicht unbedingt ein Körper sein muss könnte man de Betrag also auch auf "Nicht-Körpern" einführen.
Das glaub ich nicht aus obengenannten Gründen bzw. als einfachen Widerspruch würde ich aufführen, dass die Vertauschbarkeit der Multiplikation nicht aus den Betragsaxiomen folgt ... lg |
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| 28.12.2008, 20:23 | 42 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, |x| und |y| sind reelle Zahlen, weil die Betragsfunktion so definiert ist. Und was verstehst du unter Algebra? Meinst du damit Ringe, Hauptidealringe usw.? Ansonsten könnte man einen Betrag auch auf Ringe definieren, z.B. auf die ganzen Zahlen. Definitionen macht man eh meisten so, dass man damit möglichst gut arbeiten kann. Der eine Definiert expliziet, dass der Betrag nur für Körper geht, der andere erlaubt Betragsfunktionen evt. auch auf Ringen. Je nachdem was man dann braucht. Für gewöhnlich benötigt man eh nur den Betrag für reelle/komplexe Zahlen, für das meiste andere verwendet man dann oft Normen (da diese noch allgemeiner sind als die Betragsfunktion
). |
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| 28.12.2008, 22:04 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich meine ja nicht unbedigt den Betrag von a der als +a für a>0 und als -a für a<0 definiert ist sondern einen beliebigen Betrag ... Algebra im Sinne der spezial . Form eines Vektorraums. Nämlich ein Vektorraum auf dem auch eine Multiplikation definiert ist und ihr gegenüber abgeschlossen ist. Außerdem gilt a(bc) = (ab)c ; a (b + c) ab + ac, (a + b) c = ac + bc sowie u(ab) = (ua)b = a(ub). Wobei a,b Elemente der Algebra sind und u eine beliebige reele Zahl ist ( Es handelt sich um eine reele Algebra). Ansonsten habe ich ab er eigentlich schon alles mehr oder weniger verstanden
Danke
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| 28.12.2008, 22:11 | 42 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo,
Ja das ist schon klar. Ein Betrag ist eine Funktion von einem Körper (oder Ring) auf R mit: |x| >= 0 für alle x |x| = 0 <=> x = 0 |xy| = |x||y| |x+y| <= |x|+|y| Wie nun deine Betragsfunktion aussieht, ist egal. Dies könnte auch |x| = 2*x*sgn(x) sein (sgn ist die Vorzeichenfunktion). Und wenn du einen Vektorraum mit abgeschlossener Multiplikation hast, für das das Assoziativgesetzt und Distributivgesetz gilt, dann bildet dies bereits einen Ring. Aber auf Vektorräumen definiert man für gewöhnlich keine Multiplikation. |
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| 28.12.2008, 22:41 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also muss eine Betragsfunktion per Defintion immer auf R abbilden und es ist nicht möglich das die Zielmenge eine andere ist als R z.B. C ? lg |
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| 29.12.2008, 14:01 | 42 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, im üblichen Sinne wird gesagt / definiert, dass der Betrag auf die reellen Zahlen abbildet. Würde er auf die komplexen Zahlen abbilden, wäre z.B. die Eigenschaft |x| >= 0 nicht möglich, da die komplexen Zahlen keine Ordnung besitzen. Somit wäre eine 'Betragsfunktion' auf die komplexen Zahlen etwas ganz anderes als eine Betragsfunktion auf die reellen Zahlen. Aber wie schon gesagt, Definitionen macht man sich so, dass man damit möglichst gut arbeiten kann. Deswegen unterscheiden sich auch einige Definitionen in den verschiedenen Lehrbüchern (z.B. ist die 0 eine Natürliche Zahl?). Es ist aber nicht Ratsam gängige Definitionen (z.B. dass der Betrag auf die reelle Zahlen abbildet) anders zu definieren. Nicht, weil es nicht möglich wäre, sondern weil man dann alle Leser verwirren würde und man selber Eigenschaften die für die Betragsfunktion gelten und schon gezeigt wurden nicht mehr verwenden kann. |
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| 29.12.2008, 14:43 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Natürlich ist klar 
Danke nochmal
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